Критика технологии «достоверных» вычислений

Но является ли технология «достоверных» вычислений адекватной потребностям практики?

Увы, можно твердо утверждать, что «достоверные» вычисления – мертворожденная технология. Она некорректна и неадекватна.

1. Интервальные исчисления увеличивают затраты компьютерных ресурсов на порядки, а многие задачи становятся попросту недоступными для выполнения. При вычислении интервальной функции от n интервальных переменных необходимо вычислить 2ⁿ числовых функций. Например, простейшая задача вычисления дискриминанта матрицы 10x10 необходимо выполнить 2¹⁰⁰ числовых вычислений дискриминанта матрицы, а если учесть, что сама это вычисление требует порядка 2²⁰ элементарных операций, то общий объем составит порядка 10⁴⁰ элементарных операций, что для современных компьютеров пока недоступно.

2. Если монофункциональные зависимости еще понятно, как считать на интервальном множестве, то полифункциональные зависимости зачастую даже не понятно, как и считать. Например, как обратить матрицу на интервальном множестве, как осуществлять произведение матриц и многие другие операции становятся непрозрачными и неясными и для них надо каждый раз разрабатывать какую-то свою теорию. Таким образом, создать всю математику на множестве интервалов вряд ли удастся даже теоретически.

3. Возникает и центральный вопрос – а достоверность это хорошо или плохо? Чтобы перевести разговор ближе к практической плоскости, поставим вопрос так – надежность это хорошо или плохо? Например, у вас есть прибор, который имеет гарантию на тысячу лет. Нужен ли вами такой прибор? Ведь такая гарантия надо даром не дается. Надо использоваться высококачественные материалы, использовать высокоточную сборку, изготовление и т.п. Это все затраты. И не лучше ли иметь прибор, имеющий гарантию всего на пять лет, но который дешевле в пять раз? Такими образом надежность, как и достоверность не тот товар, которого «много не бывает». Например, интервал от нуля до бесконечности с абсолютной достоверностью вмещает в себя все результаты любых расчетов. Таким образом, много достоверности также плохо, как и мало. И с этой точки зрения центральный порог «достоверных» вычислений состоит в их слишком высокой достоверности.

Действительно, пусть мы имеем задачу о последовательном сложении и вычитании тысячи чисел с интервалом погрешности 1 мм. Какова будет погрешность результата? В системе «достоверных» вычислений погрешности при сложении и вычитании складываются. Следовательно, погрешность результата будет 1 м. Это означает, что мы рассчитываем самый максимально неблагоприятный случай, когда все частные погрешности складываются самым наинеблагоприятнейшим образом. Но такая вероятность для 1000 чисел, как легко подсчитать по теории вероятностей, ничтожно, а для практики просто исчезающе мала. Но если мы используем эту задачу в практических целях, то «достоверные» вычисления вынуждают нас принимать решения в расчете именно на этот редчайший почти невероятный случай. Т.е. имеем заведомо завышенную достоверность, которая не менее вредна, чем заниженная.

Но и это еще не все. А чему же будет равно среднее в предыдущей задаче? Так как в ней происходит и сложение, и вычитание, то среднее значение результирующего результата может оказаться и 0.1 м. Итак, мы получаем очень забавный результат. Имеем размер 0.1 м с ошибкой 1 м.

4. В основе «достоверных» (интервальных) вычислений лежат обычные числовые (рациональные) вычисления по стандарту IEEE 754. Но ведь эти вычисления недостоверны, как убедительно показано самими творцами «достоверных» вычислений. Как же они могут гарантировать достоверность «достоверных» вычислений, если они основаны на недостоверных? Как недостоверным может быть число, так недостоверным может оказаться и интервал – одна или обе его границы. На недостоверных вычислениях создать достоверные, по крайней мере, гарантировано достоверные – невозможно. Таким образом, мы приходим к странному результату: «достоверные» вычисления обладают либо излишней, завышенной достоверностью, либо никакой. Причем различить эти случаи у нас нет никаких возможностей. Но достоверность, которая иногда может быть недостоверной, не может считаться достоверной. Так что термин «достоверные вычисления» вряд ли корректен.

5. Цель компутинга, естественно, решать практические задачи. Конечно, на нем можно решать и задачи чисто математического характера. Но ясно, что вычислительная технология, претендующая стать базовой для всего компутинга, должна рассчитываться именно на практику. И если с это точки зрения посмотреть на «достоверные» вычисления, то мы увидим, что эта вычислительная технология имеет мало контактов с практическими потребностями. Например, выражение (0.001234568764546, 12468.978000069865755) есть добротный числовой интервал, который вполне может появиться в практике «достоверного» расчета. Но имеет ли такой интервал какой-нибудь смысл в современной практической числовой деятельности? Нет. Ни малейшего. А интервал (1.000, 1.003) вполне может иметь практический смысл. Таким образом, числовые интервалы могут использоваться и используются на практике, но только интервалы особого вида, а отнюдь не любые. Отсюда следует, что интервальная вычислительная технология может использовать числовые интервалы только особого вида, которые имеют практический смысл. Другими словами, она может быть определена только на некотором подмножестве множества числовых интервалов, каковое нужно сначала четко определить и на этом подмножестве создавать вычислительную математику. А интервальное исчисление на полном множестве числовых интервалов просто не нужно никому. Потому и разработка такой вычислительной технологии есть бесполезная и ненужная вещь. И это нынешняя практика демонстрирует в полной мере. Несмотря на призывы сторонников и пропагандистов «достоверной» математики, что-то не очень появляется много желающих использовать ее в своей практической деятельности. И если бы дело шло только об инженерах и бухгалтерах. Увы, даже сами ученые в своей практической деятельности не спешат ее использовать, хотя даже аббревиатура SC (Scientific Computations), присутствующая в интервализированных языках, как бы прямо призывает использовать ее в науке. Увы, нет, реально эта технология за рамки нескольких университетских лабораторий так и не вышла. И мы понимаем, что и не выйдет, что удел этой технологии – стать лишь базой писания диссертаций.

6. Аналогично тому, как звук не является самостоятельным объектом человеческого общения, а таким объектом является слово, так и в числовом пространстве отдельное число становится лишь частью некоторого числового объекта, но самостоятельное значение теряется. В этой технологии отвергается само понятие числа для описания нецелочисленных числовых артефактов – измерений, расчетов и т.п. Для конечного описания этих феноменов в данной вычислительной технологии используется не институция математического числа (не играет роли какого), а институцию математического интервала. Другими словами, эта технология провозглашает, фактически, смерть числа как институции, пригодной для описания числовых феноменов, не могущих быть описанными через целые числа.

Это уже такая революция, которая, фактически, разрывает со всей прошлой числовой культурой. Проведение ее в жизнь чревато буквально полной перестройкой сознания и всей практики. Только представим, что на интервалы мы перевели все цены, все складские записи, все измерения, всю бухгалтерию. Как действовать и принимать решения в такой системе даже непонятно. Если заменить все нецелые числа числовыми интервалами, то это станет крушением устоев всей вычислительной культуры и цивилизации.

Итак, приходим к заключению: Технология «достоверных вычислений», основанная на концепции интервала, сверхзатратна по компьютерным ресурсам, не все задачи в ней имеют прозрачное описание, она одновременно и слишком достоверна и недостоверна, не отвечает потребностям реальной практики, а ее внедрение означает разрыв с многовековой числовой культурой человечества.

Таким образом, интервальное исчисление проблему «рациональной катастрофы» не решает, и мы можем уже говорить о всеобщей вычислительной катастрофе в компутинге.