Решение
1) Экономико-математическая модель исходной задачи.
Xi - объем выпускаемой продукции на i-м филиале предприятия.
= 83X1+89X2+95X3+98X4 -> min,
Ограничения
X1+X2+X3+X4 ³ 300 (тыс. штук)
120X1+80X2+50X3+40X4 £ 18 (млн.руб.),
X1,2,3,4 ³0.
| Y1 | |||||
| Y2 |
Экономико-математическая модель двойственной задачи.
Y1 - двойственная оценка выпускаемой продукции, которая может быть ценой изделия;
Y2 - двойственная оценка капитальных вложений, которая может быть представлена как коэффициент эффективности капитальных вложений.
g
=300000 Y1+18000000 Y2 -> mах
1 Y1+120Y2 £83
1 Y1+ 80Y2 £89
1 Y1+ 50Y2 £95
1 Y1+ 40Y2 £98
2) для определения оптимального плана двойственной задачи воспользуемся соотношениями второй теоремы двойственности. Если какое-либо ограничение исходной задачи выполняется как строгое неравенство, то соответствующая двойственная оценка равна нулю
(
).
0+100000+200000+0 = 300000
120´0+80´100000+50´200000+4´0 = 18000000
Если какая-либо переменная исходной задачи входит в оптимальный план, то соответствующее ограничение двойственной задачи выполняется как строгое равенство
).
В нашей задаче Х2=100000>0 и Х3=200000>0, поэтому второе и третье ограничения двойственной задачи обращаются в уравнения, решая которые найдем Y1и Y2 .
1 Y1+ 50Y2 =95 Y1= 105- средняя цена изделия
1 Y1+ 80Y2 =89 Y2 = - 0.2 - двойственная оценка капитальных вложений.
105 =95 +50´0.2 = 105
105 =89+ 80´0.2 = 105
На втором и третьем филиалах выпускать новые изделия целесообразно так как затраты на его освоение и выпуск не превышают цену изделия.
Проверим выполнение первой теоремы двойственности.
g =300000 Y1+18000000 Y2 = 300000 ´105+18000000´(–0.2) = 279 000 000
= 83X1+89X2+95X3+98X4 =83´0+89´100000+95´200000+98´0 = 279 000 000.
Полученные оптимальные планы говорят о том, что в первом и четвертом филиалах размещать заказы по выпуску новых изделий невыгодно (Х1=0 и Х4=0), так как затраты на производство единицы изделия в этих филиалах больше цены изделия.
1 ´Y1+ 120´Y2 =83 Y1= 105105+ 120´(-0.2) <95 105< 95+24 = 119
1 ´Y1+ 40´Y2 =98 Y2 = - 0.2105+ 40´(-0.2) <89 105<98+8 = 106.
Задания к контрольной работе
Номер Вашего варианта соответствует последней цифре зачетной книжки.
ЗАДАЧА 1.
1. Решить графическим и симплексным методом задачу линейного программирования.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план, используя теоремы двойственности.