Выражение энергии колебания через его спектральную функцию. Спектральная плотность энергии

Пусть G_s (w) является спектральной функцией колебания напряжения s(t). Тогда удельная энергия колебания (энергия, выделяемая на единичном сопротивлении)

Изменяя порядок интегрирования, получим

Но внутренний интеграл есть спектральная функция колебания s(t), взятая при аргументе -w, т. е. представляет собой комплексно сопряженную с G_s (w) величину:

Следовательно,

(произведение двух сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля).

Так как квадрат модуля является четной функцией переменной интегрирования w, то, удвоив значение интеграла, можно вести интегрирование в пределах от 0 до ¥.

 

Соотношение иногда называют теоремой Парсеваля. Из него следует, что на бесконечно малый участок частот приходится энергия

 

Поэтому величину

 

можно назвать спектральной плотностью энергии колебания s(t). Она характеризует распределение энергии по частоте.