Пусть Y — случайная величина, связанная с X однозначной функциональной зависимостью вида у = f(x). Попадание случайной точки х в интервал шириной dx и попадание случайной точки у в отвечающий ему интервал шириной |dy| = |f'(х)|dx являются эквивалентными событиями, поэтому вероятности их совпадают:
px(x)dx = py(y) |dy|.
Отсюда
Рy (y) = Рx(х) || = Px[g (у)]|| , (6.11) ,
где х = g (у) — функция, обратная по отношению к у =f(x). Если функциональная связь между X и Y неоднозначна, так что имеется несколько обратных функций x1=g1(y), x2 =g2(y), …,xn =gN(y), то формула (6.11) обобщается следующим образом:
Ру(у)= (6.12)
Характеристическая функция.
В теории вероятностей большую роль играет статистическое среднее вида
(6.13)
называемое характеристической функцией случайной величины X. С точностью до коэффициента функции Θ(υ) есть преобразование Фурье от плотности вероятности, поэтому
(6.14)
Опуская элементарные выкладки, приведем некоторые результаты:
для случайной величины, равномерно распределенной на отрезке a ≥ х ≥ 0,
(6.15)
для гауссовой случайной величины с заданными параметрами т,
(6.16)
Располагая характеристической функцией, легко найти моменты случайной величины. Действительно, так как
то, полагая здесь υ = 0 и сравнивая результат с (6.3), находим
(6.17) .
С помощью характеристической функции удобно также находить плотность вероятности случайной величины, подвергнутой функциональному преобразованию.
Статистические характеристики систем случайных величин
Свойства случайных сигналов принято описывать, рассматривая не просто те величины, которые наблюдаются в какой-нибудь момент времени, а изучая совокупности этих величин, относящихся к различным фиксированным моментам времени.