Стационарные случайные процессы

 

Среди случайных процессов особое место занимают стационар­ные случайные процессы, имеющие важное значение при рас­смотрении большого числа задач. Случайный процесс называется строго стационарным, если функции распределения любого поряд­ка для этого процесса инварианты относительно начала отсчета времени. Из этого определения, в частности, следует, что одно­мерные функции распределения стационарных процессов не зави­сят от времени, т. е. в любой момент имеют один и тот же вид.

При определенных условиях, математическая формулировка которых здесь не будет рассматриваться (см., например, [1]), стационарный случайный процесс может обладать эргодическими свойствами. Для эргодического случайного процесса результаты усреднения по времени совпадают с результатами усреднения по ансамблю. Это позволяет большую совокупность реализаций по ансамблю заменить на реализацию по времени и ограничиться одной реализацией, если выбранный интервал времени имеет до­статочную длительность.

Для рассматриваемого случая

где I — среднее по ансамблю.

Обозначая среднее значение по времени через |, можно напи­сать

При технических расчетах интервал усреднения Т берут ко­нечным, но достаточно большим.

Функция корреляции В, определяемая соотношением (1.30), дляt—t и ta—t+i для центрированной относительно среднего значения функции [1(1)—a(t)]

 

Для стационарного случайного процесса функция корреляции не зависит от выбора моментов t=t и t₂ = t + r, а зависит только от разности т = /₂—1. Таким образом, функция корреляции явля­ется функцией не двух переменных, как в общем случае, а толь­ко одной переменной т.

Так как дисперсия Z) = M{[£(/)—a(t)]²}, то, как видно из (1.32), при т = 0 дисперсия равна функции корреляции.