Спектральная плотность флуктуационных помех

Наряду с функцией корреляции для описания случайных процессов широко используется также спектральная плотность g{f), которая характеризует распределение мощности (энергии) помехи или сигнала по частоте. Иногда вместо спектральной плотности используют термин «энергетический спектр».

Корреляционная функция центрированного флуктуационного процесса |_ц(0⁼1(0—^mi ^и спектральная плотность g(f) связаны между собой парой преобразований Фурье [3]:

Для случая, когда т = 0, вместо (2.16) получим

Входящая в подынтегральное выражение величина g(f)df соответствует той доле энергии флуктуации, которая содержится в интервале частот df. Формула (2.17) показывает, что полная энергия флуктуационного процесса равна площади, ограниченной кривой спектральной плотности g(f). Можно показать [3], что спектральная плотность g(f) флуктуационного случайного процесса, а следовательно, и флуктуационных помех характеризуется следующими свойствами:

1. Спектральная плотность флуктуационпого процесса неотри
цательна, т. е. g(f)~^O.

2. Спектральная плотность g(f) всегда представляет собой ве
щественную функцию, причем для вещественного процесса она
является четной функцией частоты. Поэтому вместо (2.15) и
(2.16) можно написать

3. Спектральная плотность g{f), а также корреляционная функция В (т) обладают всеми свойствами, которые характеризуют пару взаимных преобразований Фурье. В частности, чем шире спектр g(f), тем уже корреляционная функция В(%) и наоборот.

Рассмотрим пример на применение полученных соотношений. Пусть функция корреляции соответствует закону Гаусса:

£(т)=£(0)ехр(—/?Ч²). Тогда на основании (2.18) и таблицы интегралов [17]

или

где

Из равенства (2.20) видно, что спектральная плотность здесь также соответствует закону Гаусса. Это равенство определяет зависимость приведенной спектральной плотности g(f)lg(O) от параметра р. С увеличением р спектр становится все более равномерным. При р—>-оо отношение g{f)t/g(O)-+, т. е. спектральная плотность оказывается не зависящей от частоты. Это обстоятельство иллюстрируется рис. 2.1, на котором дана зависимость g{f)lg(O) от / при различных значениях р.

Флуктуационные помехи являются стационарным случайным процессом, имеющим гауссовское распределение. При одномерном распределении

где а = х. При двумерном распределении (п = 2) плотность вероятности

Здесь коэффициент корреляции р(т) = Б(т)/а²; о = о(т) =o(t2—ti). В случае, когда спектр помехи очень широкий, р(т)^0, что соответствует некоррелированному случайному процессу, вместо (2.22) получим (1.16).

Для «-мерной некоррелированной гауссовской флуктуационной помехи

Рис. 2.1. Зависимость приведенной спектральной плотности от частоты; р%>рг>Рз

Таким образом, в (2.23) я-мерная плот~ ность вероятности представляет собою произведение п одномерных плотностей вероятности. Описание реального случайного процесса, например, такого, как помехи, будет тем более точным, чем больше величина п многомерного про цесса. При технических расчетах, при которых выбирается гаус совская модель, во многих случаях можно ограничиться двумерной или даже одномерной моделью.