Обратное преобразование Фурье.

Решим обратную задачу спектральной теории сигналов: найдём сигнал по его спектральной плотности, которую будем считать заданной.

Предположим вновь, что непериодический сигнал получается из периодической последовательности, когда её период устремится к бесконечности. Воспользовавшись формулами (1.10) и (1.11) запишем

.

Коэффициент пропорционален разности между частотами соседних гармоник:

при любом целом . Таким образом,

.

Поскольку в пределе частотные интервалы между соседними гармониками при возрастании периода последовательности неограниченно сокращаются, то последнюю сумму можно заменить интегралом:

(1.14)

Эта формула называется обратным преобразованием Фурье для сигнала .

Таким образом, приходим к выводу: сигнал и его спектральная плотность взаимно–однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье:

,

(1.15)

Аппарат спектральных разложений чрезвычайно обогащает теорию сигналов. Например, часто математическая модель сигнала, представленная функцией , т. е. Во временной области, сложна и недостаточно наглядна. Однако описание этого сигнала в частотной области посредством функции может оказаться простым. Так же спектральное представление дает возможность анализировать прохождение сигналов через широкий класс радиотехнических цепей и устройств.