Решим обратную задачу спектральной теории сигналов: найдём сигнал по его спектральной плотности, которую будем считать заданной.
Предположим вновь, что непериодический сигнал получается из периодической последовательности, когда её период устремится к бесконечности. Воспользовавшись формулами (1.10) и (1.11) запишем
.
Коэффициент пропорционален разности между частотами соседних гармоник:
при любом целом . Таким образом,
.
Поскольку в пределе частотные интервалы между соседними гармониками при возрастании периода последовательности неограниченно сокращаются, то последнюю сумму можно заменить интегралом:
(1.14)
Эта формула называется обратным преобразованием Фурье для сигнала .
Таким образом, приходим к выводу: сигнал и его спектральная плотность взаимно–однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье:
,
(1.15)
Аппарат спектральных разложений чрезвычайно обогащает теорию сигналов. Например, часто математическая модель сигнала, представленная функцией , т. е. Во временной области, сложна и недостаточно наглядна. Однако описание этого сигнала в частотной области посредством функции может оказаться простым. Так же спектральное представление дает возможность анализировать прохождение сигналов через широкий класс радиотехнических цепей и устройств.