Представление отклика линейной цепи в форме интеграла наложения или свертки.

 

 

Любой детерминированный сигнал можно представить при помощи единичной ступенчатой или единичной импульсной функции, называемой для краткости единичная ступенька и единичный импульс.

Единичная ступенька (скачок, функция включения, или функция Хевисайда) определяется аналитически

при ,

при . (1.21)

Она равна нулю при отрицательных значениях аргумента и единице – при положительных. Сдвиг ступеньки по оси времени на интервал видоизменяет выражения (1.21) в

при ,

при . (1.22)

Произвольная ограниченная функция времени , умноженная на обращается в нуль (“отсекается”) при и остается без изменений при .Таким образом, умножение на равносильно замыканию ключа, включающего сигнал в момент времени .

Единичный импульс (δ-функция, функция Дирака) определяется следующим образом:

 

при ,

при . (1.23)

при одновременном выполнении условия

. (1.24)

При сдвиге импульса по оси времени на интервал выражения (1.23),(1.24) принимают вид:

при ,

при ,

. (1.25)

Единичный импульс представляет собой производную от единичной ступеньки

, (1.26)

а единичная ступенька – интеграл от единичного импульса

. (1.27)

Если умножить выражение (1.25) на функцию и проинтегрировать, то неравное нулю значение произведения может иметь место только при , поэтому

. (1.28)

Таким образом, единичный импульс производит выборку отдельных значений или стробирует функцию в момент времени .

Отклик (реакция) системы на единичную ступеньку называется переходной характеристикой , отклик системы на единичный импульс – импульсной характеристикой . Импульсная характеристика является производной от переходной

, (1.29)

а переходная - интеграл от импульсной

 

. (1.30)

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3. Представление сигнала с помощью единичных импульсов.

 

Пусть к системе с импульсной характеристикой приложен сигнал . С некоторым приближением этот сигнал можно рассматривать как последовательность плотно прилегающих друг к другу коротких импульсов длительностью с амплитудами, равными мгновенным значениям сигнала в моменты времени , где - порядковый номер импульса (рис.3). Заменим короткие импульсы единичными в моменты времени , а их амплитуды приравняем к площадям прямоугольников . При стремлении к нулю точность такого представления функции возрастает.

Отклик на n-й единичный импульс пропорционален импульсной характеристике системы, смещенной на время

. (1.31)

В соответствии с принципом суперпозиции отклик на сигнал в целом есть сумма откликов на все элементарные импульсы

(1.32)

или в пределе:

. (1.33)

С учетом (1.29) выражение (1.33) примет вид:

. (1.34)

Выражения (1.33) и (1.34) называют интегралом наложения, или свертки, иногда интегралом Дюамеля.

Единичные ступенька и импульс являются идеализацией, на практике мгновенными считают явления, продолжительность которых существенно меньше длительности переходных процессов в исследуемой цепи.