Если не использовать комплексную экспоненту, то выражение (2.12)
можно переписать следующим образом:
(2.16)
Если функция f(х) — действительная четная функция, так что f(-x) = f(x), второй интеграл дает нуль, и имеем:
(2.17)
F(u) — действительная функция. Если же f(х) — действительная нечетная функция, т.е. f(-x) = - f(x), тогда первый интеграл будет давать нуль, и получаем:
(2.18)
Функция F(u) будет чисто мнимой.
Поскольку любую действительную функцию можно представить как сумму четной и нечетной функций:
(2.19)
то можно записать:
где А(u) и В(u) — действительные функции, которые задаются выражениями:
(2.20)
Именно эти интегралы, содержащие синусы и косинусы, протабулированы в значительной мере в таблицах интегралов Фурье, приведенных, например, в справочниках Эрдейли и Снеддона.
Для любой, действительной или комплексной, функции f(x) запишем следующие общие соотношения:
Реальное пространство Пространство Фурье
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
Эти соотношения легко доказать, записав соответствующие интегралы. Например, для выражения (2.24):
Для (2.26):
Для (2.27):
поскольку:
Соотношение (2.28) получается повторением вывода (2.27).