Штрафные функции

Исходная задача условной оптимизации сводится к последовательности задач безусловной оптимизации функций

F_k(x, m) = f(x) - S_k(x, m_k), k = 1,2,3,....

Здесь S_k(x,m_k), k = 1,2,3,... - штрафные функции, задаваемые таким образом, чтобы обеспечить выполнение условия xÎD. Тогда F_k(x,m) мало отличаются от f(x), если xÎD, и быстро убывают с ростом k, если x Î Rⁿ D. Величина штрафа определяется подбором коэффициентов m_k.

Различают три основных способа формирования штрафных функций:

- внешние штрафные функции;

- внутренние штрафные (барьерные) функции;

- комбинированный метод.

Внешние штрафные функции определены на всем пространстве Rⁿ, причем в допустимой области они равны 0, а вне ее принимают положительные значения и быстро возрастают с ростом k. Например, в качестве внешней штрафной функции может использоваться функция, характеризующая взвешенную сумму квадратов невязок

S_k(x, m_k) = m_ki (max {0, (j _i(x) - b_i)})².

Здесь, придавая коэффициентам m_k, k=1,2,.... различные значения, можно повысить скорость сходимости метода. Широкий класс штрафных функций задается выражением

S_k(x, m_k) = -1 + exp (m_ki max {0, (j _i(x) - b_i)}) .

Очевидно, что штрафных функций может быть достаточно много, однако, для повышения скорости сходимости вид штрафных функций должен быть согласован с видом функций j_i(x), i = 1,...,m и видом функции f(x).

Внутренние штрафные (барьерные) функции используются тогда, когда поиск оптимального решения необходимо вести, не выходя за пределы допустимой области D. В этой связи для конструирования барьерных функций необходимо выбирать такие функции S_k(x,m_k), которые принимают значение 0, если xÎD, и неограничено возрастают при приближении x к границе D. В качестве барьерных функций может использоваться, например, обратная функция барьера

S_k(x, m_k) = m_ki (b_i - j _i(x))^-1.

или логарифмическая функция барьера

S_k(x, m_k) = -ln min {1, m_ki (b_i - j _i(x))}.

Характерной особенностью метода барьерных функций является необходимость выбора начального приближения x, такого чтобы xÎD. Существенные трудности возникают в ситуациях, когда в описание допустимой области D входят ограничения типа равенств. Тем не менее метод барьерных функций, наряду с методом внешних штрафных функций достаточно широко используется при поиске оптимальных решений.