Методы покомпонентного построения результирующих отношений предпочтения

 

Основное содержание данных методов сводится к формированию сужающейся последовательности множеств (ядер): посредством введения на них последовательности результирующих отношений предпочтений . При построении указанной сужающейся последовательности множеств в качестве первоначального результирующего отношения предпочтения целесообразно выбрать (отношение доминирования по Парето, см. формулу (4.4)).

Необходимо отметить, что применение паретовских результирующих отношений предпочтения для ряда задач может привести к выделению слишком большого множества эффективных альтернатив. По этой и ряду других причин на практике осуществляют переход к лексикографическим методам построения результирующих отношений предпочтения. При указанном подходе задание набора ранжированных по важности критериальных функций позволяет не только выделить некоторые альтернативы в качестве оптимальных, но и упорядочить все альтернативы из множества по степени предпочтительности подобно тому, как располагает слова при составлении словаря. Поэтому данное отношение предпочтения часто называют лексикографическим (от греческого — словарь + — пишу), а многокритериальные задачи со строго упорядоченными по важности критериями — лексикографическими задачами.

Из анализа определения классического лексикографического отношения предпочтения (см. формулу (4.30)) следует, что если критериальные функции упорядочены , то лексикографическая задача многокритериального выбора сводится к решению следующей последовательности задач оптимизации:

1) Найти

2) Найти

,

(4.35)

 

) Найти

,

В выражении (4.35) запись вида обозначает множество элементов, в которых достигается максимум некоторой функции . Для обозначения произвольного элемента этого множества вводится запись . Если данный элемент является единственным, имеет место = . Если предположить, что тогда множество допустимых альтернатив будет определяться соотношениями:

};

,

,

Следует подчеркнуть, что хотя рассматриваемая процедура оптимизации имеет определенное сходство с процедурой последовательного сужения ядер, основанной на методах ЭЛЕКТРА, на самом деле существуют принципиальные отличия между двумя указанными подходами.

Главное из этих отличий состоит в том, что в определении множества Парето и его последующих сужений обычно участвуют все отношения предпочтения , а при применении лексикографических методов предпочтения постепенно нарастает, и вся последовательность шагов направлена на отыскание ядра отношения предпочтения . В общем случае процедура лексикографической оптимизации может оказаться неустойчивой, т. к. даже незначительные изменения исходных данных могут привести к нахождению альтернатив, для которых соответствующие значения всех критериальных функций (кроме первой наиболее предпочтительной функции) сильно изменятся. Другая особенность лексикографического метода состоит в том, что уже множество , получаемое при оптимизации критериальной функции , на исходном множестве может содержать единственную альтернативу: . В данной ситуации теряется возможность оптимизации по другим критериальным функциям. Поэтому для расширения возможностей применения лексикографических методов многокритериальной оптимизации вводится интервальный лексикографический порядок (см. формулу (4.24)). В этом случае метод и соответствующий алгоритм последовательного сужения множества альтернатив состоят в следующем:

Шаг 1. . В результате решения находится , при этом .

Формируется }.

Шаг 2. . В результате решения находится ;

Формируется

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Шаг .

.

Шаг .

Последний результат и является окончательным решением исходной задачи многокритериального выбора. Рассмотренный метод (алгоритм) в теории многокритериальной оптимизации получил название метода (алгоритма) последовательных уступок. В самом деле, приведенным соотношениям может быть дана следующая интерпретация: вначале проводится оптимизация по первой целевой функции и определяется максимальное значение этой функции , затем вводится максимальное допустимое снижение данного показателя (уступка) и производится оптимизация по и т.д.

Чем меньше уступки по предшествующим показателям, тем меньше возможности улучшения последующих показателей. В то же время, очевидно, что нет смысла назначать такие уступки, которые снижали бы значения ниже минимальных значений, принимаемых этими функциями во множестве Парето.

Таким образом, метод последовательных уступок целесообразно применять для решения тех задач, в которых все показатели качества естественным образом упорядочены по важности, причем каждый показатель настолько более важен, чем последующий, что можно ограничиться только их попарной связью и выбирать величину допустимого снижения очередного показателя с учетом поведения лишь одного следующего показателя.