При решении конкретных задач выбора на вероятностных структурах часто вводится предположение о том, что задание целевой функции f(w) и ограничивающих отношений ri(w), i=1,...,m, определяющих множество допустимых альтернатив D(w), может быть осуществлено с помощью некоторых функций gi(x,w), i = 0,1,...,m, где каждое gi: D ´ W ® R1, принимающие соответственно при x Î D, w Î W значения gi(x,w) (причем go(x,w) = f(x,w)). Такая задача выбора является задачей стохастического математического программирования, и ее можно представить в виде.
f(x,w) ® max,
gi(x,w) £ 0, i = 1,...,n.
Далее будем иметь в виду обозначение go(x,w) = f(x,w).
Функции gi(x,w), i = 0,...,n представляют собой случайные функции, и при каждом фиксированном x являются случайными величинами с заданным законом распределения. Сущность методов детерминизации заключается в переходе от моделей с указанными случайными функциями к моделям, зависящим лишь от числовых характеристик, соответствующих законов распределения (например, математического ожидания, дисперсии и т.д.), которые являются уже детерминированными величинами.
Как правило, вводятся следующие числовые характеристики законов распределения случайной функции gi(x,w), i=0,...,n.
1). Математическое ожидание (М - преобразование)
gm(x) = М (g(x, w)). (5.2)
2). Дисперсия (V - преобразование)
gv(x) = М( g(x, w) - М g(x,w))2. (5.3)
3). Вероятность превышения значений случайной функции некоторого заданного порогового значения b (Р - преобразование)
gp(x) = Р{ g(x, w) ³ b }. (5.4)
4). Максимальное значение b, которое превышается значениями случайной функции с заданной вероятностью q (В - преобразование)
gb(x) = max {b ½ Р{g(x, w) ³ b} ³ q }. (5.5)
Ограничения задачи стохастического программирования подвергаются, как правило, однотипным преобразованиям. Поэтому в целом такие задачи характеризуются парой символов <G,C>, где первый символ характеризует вид преобразования целевой функции, а второй характеризует вид преобразований ограничений. Например, различают <М,М> задачи, в которых целевая функция и ограничения подвергаются М-преобразованию; <М,Р> задачи, в которых ограничения подвержены Р-преобразованию и т.д. Наиболее широко в задачах стохастического программирования используются преобразования типа М, Р, В, как более полно отвечающие существу решаемых задач.
Довольно часто при поиске наилучших альтернатив функции gi(x, w), i=0,...,n представляются в виде полиномов. Тогда эти функции можно задать как gi(x,hi(w)), i=0,...,n, где hi(w) - вектор коэффициентов полинома, т.е.
k
gi(x, h(w)) = S hij (w) xj .
j=0
В результате детерминизации задач стохастического программирования их окончательное решение может быть получено уже с использованием известных методов математического программирования.