Экономическая интерпретация задачи линейного программирования

Пример 2.1. Пусть требуется определить план выпуска четырёх видов продукции П₁, П₂, П₃, П₄, для изготовления которых необходимы ресурсы трёх видов: трудовые, материальные, финансовые. Количество каждого i-го вида ресурса для производства каждого j-го вида продукции называют нормой расхода и обозначают a_{i j}. Количество каждого вида ресурса, которое имеется в наличии, обозначают b_i (табл.2.1.).

Из таб.2.1 видно, что для выпуска единицы продукции, например вида П₂, требуется две единицы трудовых ресурсов, П₃ – четыре единицы материальных ресурсов и т.д.; предприятие располагает 100 единицами финансовых ресурсов, 40 единицами трудовых, исходя из спроса заданы верхние и нижние пределы границы выпуска каждого вида продукции.

Таблица 2.2.1

Ресурсы (i)	Вид продукции ( j)	Запас ресурса (bi)
П1	П2	П3	П4
Удельный расход ресурсов (ai j)
Трудовые Материальные Финансовые
Граница: нижняя верхняя		–	–		– –
План	х1	х2	х3	х4	–

На основании исходных данных требуется составить математическую модель для определения плана выпуска продукции.

Решение. Обозначим через х₁, х₂, х₃, х₄ – количество выпускаемой продукции видов П₁, П₂, П₃, П₄, которое надо найти.

Теперь составляем ограничения. Из табл.2.2.1 видно, что для выпуска единицы продукции П₁ требуется одна единица трудовых ресурсов, П₂, П₃, П₄ – соответственно 2, 3, 4 единиц трудовых ресурсов. Тогда потребный трудовой ресурс для выпуска всех видов продукции будет равен х₁+2х₂+3х₃+4х₄.

Очевидно, что потребный ресурс не может превышать располагаемый, т.е. для трудового ресурса справедливо неравенство

х₁ +2х₂+3х₃+4х₄ £ 40,

где 40 – располагаемый ресурс (табл.2.2.1).

Если составить аналогичные зависимости для остальных видов ресурсов и добавить предельно допустимые значения для выпуска каждого вида продукции, то получим систему:

(3)

В этой системе неравенства, устанавливающие зависимости для ресурсов – ограничения, а предельно допустимые значения переменных – граничные условия. В ограничениях левые части неравенства – потребные ресурсы, а правые – располагаемые.

Если в неравенства ввести дополнительные переменные у₁³0, у₂³0, у₃³0, то можно записать

(4)

В этой системе дополнительные переменные – это разность между располагаемым ресурсом и потребным и, следовательно, равные неиспользуемому ресурсу, т.е. это резервы каждого вида ресурсов.

Очевидно, что система (4), содержащая три уравнения и семь переменных, имеет бесчисленное множество решений, т.е. различных вариантов плана. Все эти возможные варианты, удовлетворяющие системе (3), являются допустимыми планами.

Если получить оптимальное решение очень важно, то иметь допустимое решение – необходимо.