Представление числовых данных в кс

 

Прнятие системы числения (СЧ)

СЧ - символический метод записи чисел, т.е. совокупность символов (цифр и знаков) записи числа и правил определения количества по записи.

Существуют позиционная и непозионная СЧ.

В позиционной СЧ вес цифры зависит от ее положения в записи. Например, арабская десятичная СЧ.

В непозиционной СЧ вес цифры не зависит от ее позиции в записи. Например – римская СЧ.

В качестве цифр в этой СЧ используются буквы:

I – 1; V – 5; X – 10; L – 50; C – 100; D – 500; M – 1000.

Допускается повторение не более 3-х раз. Если меньшее число слева от большего, то оно отнимается. Если справа – прибавляется. Максимальное число, которое можно записать 3999. Для записи тисяч над буквами ставиться 1 черта, миллионов – 2 черты. Система неудобная и не подходит для комп-ов. Поэтому в комп-ах используется позиционная СЧ.

 

Представление чисел в позиционной СЧ.

 

Числа бывают беззнаковые – всегда положительные, и знаковые – как положительные так и отрицательные (которые вычитаются при добавлении).

Для отделения целой и дробной части натуральных чисел используют запятую (точку). Если дробная часть отсутствует, то число целое и запятая справа от последней цифры целой части. Если целая часть отсутствует (ноль), то число дробное и запятая слева от первой цифры (если ноль не указан). В зависимости от формата записи числа бывают натуральные с фиксированной точкой (запятой), или вещественные с плавающей точкой, которые состоят из двух чисел – натуральной мантиссы и целого порядка со знаком.

 

Основание системы счисления q – количество цифр, используемое для записи чисел.

В вычислительной технике основной является двоичная СЧ, но при программировании используется десятичная, восьмеричная и 16-ричная СЧ. Последние позволяют сократить записи двоичных кодов с возможностью легкого преобразования из одной СЧ в другую.

 

Параметры СЧ

Сч	Цифры	Основание q	Знаки
Десятичная (10-я)	0, 1, 2,…, 9		, (.) + -
Двоичная (2-я)	0, 1		, (.) 1(+) 0 (–)
Восьмиричная (8-я)	0, 1, 2, …, 7		, (.) + -
Шестнадцатиричная (16-я)	0, 1, 2,…, 9, А(10), В(11), С(12), D(13), E(14), F(15)		, (.) + -

 

Для различения чсел в недесятичной системе счисления после их записи будем приписывать основание q в нижнем регистре

 

Таблица чисел в раличных СЧ (надо помнить)

 

10-я	Двоичная	8-я	16-я
			A
			B
			C
			D
			E
			F

 

 

Общая форма записи числа с фиксированной точкой из m-цифр в целой части и f – цифр дробной части

 

A_q = ± a_m-1 a_m-2 ….. a₁ a₀ , a_-1 a_-2 ….. a_-(f-1) a_-f. (1)

 

Общее количество цифр в записи n = m + f. Плюс знак, если есть. Незначащуе нули в начале записи приводить обычно не принято.

Полиноминальное представление числа с фиксированной точкой

 

A_q = ± (a_m-1 q ^m-1+a_m-2 q ^m-2 … +a₁ q ¹+a₀ q ⁰+

+a_-1 q^-1+ a_-2 q^-2…+ a_-(f-1)q^-(f-1)+ a_-f q^-f) (2)

 

Избавимся от отрицательных степеней, заменив умножение на деление

 

A_q = ± (a_m-1 q ^m-1+a_m-2 q ^m-2 … +a₁ q ¹+a₀ +

+a_-1/ q+ a_-2 / q²…+ a_-(f-1) /q^f-1+ a_-f /q^f) (3)

 

Другая форма записи

A_q =. (4)

Вариант представления

 

A_q = ± (((…(a_m-1 q+a_m-2 )q … +a₁) q +a₀) +

+ q^-1(a_-1 + q^-1( a_-2 +…+ q^-1(a_-(f-1) + q^-1a_-f)…))). (5)

 

Другая форма записи (2)

 

A_q = ± (a_m-1 q ^m-1+a_m-2 q ^m-2 … +a₁ q ¹+a₀ q ⁰+

+ q^-f( a_-1 q^f-1+ a_-2 q^f-2…+ a_-(f-2)q² + a_-(f-1)q+ a_-f)). (6)

 

Избавимся в (6) от отрицательных степеней

 

A_q = ± (a_m-1 q ^m-1+a_m-2 q ^m-2 … +a₁ q ¹+a₀ q ⁰+

+ ( a_-1 q^f-1+ a_-2 q^f-2…+ a_-(f-2)q² + a_-(f-1)q+ a_-f) / q^f). (7)

 

 

Формулы (2)…(7) используются для перевода недесятичных чисел в десятичные.

 

Варианты перевода чисел четырех СЧ

 

№	Вариант	Правила
	10-е в 2-е	Деления – для целых. Умножения – для дробных.
	10-е в 8-е	Деления – для целых. Умножения – для дробных.
	10-е в 16-е	Деления– для целых. Умножения – для дробных..Табличная замена чисел.
	2-е в 10-е	Полиноминальное представление.
	2-е в 8-е	Правило триад.
	2-е в 16-е	Правило тетрад.
	8-е в 10-е	Полиноминальное представление.
	8-е в 2-е	Табличная замена цифр.
	8-е в 16-е	8-е в 2-е(табличная замена цифр). Затем 2-е в 16-е (правило триад).
	16-е в 10-е	Табличная замена цифр. Полиноминальное представление.
	16-е в 2-е	Табличная замена цифр.
	16-е в 8-е	16-е в 2-е (табличная замена цифр). Затем 2-е в 8-е (правило триад).