Числовые величины, которые могут принимать любые значения (целые и дробные) называются вещественными числами. В математике также используется термин «действительные числа». Решение большинства математических задач сводится к вычислениям с вещественными числами. Вещественные числа в памяти компьютера представляются в форме с плавающей точкой.
Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа А в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления q в некоторой целой степени p, которую называют порядком:
А=m x qp
Например, число 139,76 можно записать в виде: 0,13976х103. Здесь m=0,13976 – мантисса, p=3 – порядок. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка». Однако справедливы и следующие равенства:
139,76=13,976х101 = 1,3976х102 = 0,013976х104 = 13976 х10-2
Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию:
0.1q £m< 1q ,
то есть мантисса меньше единицы и первая значащая цифра - не ноль. Следовательно, для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 0,13976х103.
В разных типах ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для примера рассмотрим один из возможных.
Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (q=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:
| ± маш. порядок | М А Н | Т И С | С А |
1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт
В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 – минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы.
Что такое машинный порядок? В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным, так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка. В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие:
| Машинный порядок | … | … | |||||||||
| Математический порядок | -64 | -63 | -62 | -61 | … | … |
Если обозначить машинный порядок Мq, а математический q, то связь между ними выразится формулой:
Мq = q + 64
Итак, машинный порядок смещен относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. Полученная формула записана в десятичной системе счисления. В двоичной системе счисления формула имеет вид:
Мq = q + 10000002
При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает.
Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий алгоритм для получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:
1) Перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;
2) Записать полученное двоичное число в нормализованном виде;
3) Определить машинный порядок с учетом смещения;
4) Учитывая знак заданного числа (0 – положительное; 1 – отрицательное), записать его представление в памяти ЭВМ.
Например, запишем внутреннее представление числа 139,76 в форме с плавающей точкой в 4-х байтовой ячейке:
1) Переведем десятичное 139,76 и запишем его 24-значащими цифрами:
139,7610 = 10001011,11000010100011112
2) Запишем полученное двоичное число в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:
10001011,11000010100011112 = 0,1000101111000010100011112 х101000,
где 0,1000101111000010100011112 – мантисса;
10 – основание системы счисления (210=102);
1000 – порядок (810=10002).
3) Определим машинный порядок:
Mq2 = 1000 + 1000000 = 1001000
4) Запишем представление числа в ячейке памяти:
Для того чтобы получить внутренне представление отрицательного числа -139,7610 достаточно в полученном выше представлении заменить в разряде знака числа 0 на 1. Никакого инвертирования, как для отрицательных целых чисел, здесь не происходит.