Понятия предела функции двух (и более) переменных и непрерывности вводится аналогично понятию предела и непрерывности функции одной переменной.
Определение. Расстоянием от точки М1(х1, у1) до точки М2(х2, у2) назо-
вем число: .
Определение.d-окрестностью точки М0(х0, у0) назовем множество всех
точек М(х, у) плоскости, таких, что r(М, М0) < d.
Геометрически d-окрестность точки М0 – это все внутренние точки круга с центром М0 и радиусом d (рис. 4).
Пусть функция z = f(х, у) определена в не-
которой окрестности точки М0(х0, у0), кроме быть
может, самой этой точки.
Рис. 4
Определение. Число bназывается пределом функции z = f(х, у) в точке
М0(х0, у0),если для любого сколь угодно малого положи-
тельного числа > 0 существует d > 0 такое, что для всех
точек М(х, у) Î D(z), отличных от точки М0 и удовлетво-
ряющих неравенству r(М, М0) < d выполняется неравен-
ство │f(х, у) – b│ < .
Записывается так или .
Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому точка М стремится к точке М0.