Нормальным законом распределения случайной непрерывной величины называется закон функция плотности вероятности, которого имеет вид
. (1.17.5)
Интегральная функция распределения для этого закона выражается зависимостью (1.14.3)
. (1.17.6)
После замены переменной формула (1.17.6) принимает вид
, (1.17.7)
или с учетом формулы (1.11.10)
. (1.17.8)
Функция (1.11.10) – называется нормальной стандартной функцией распределения.
Отметим основные числовые характеристики этого закона.
1. Площадь криволинейной трапеции
.
2. Математическое ожидание
.
3. Дисперсия
.
4. Среднеквадратичное отклонение
.
5. Центральные моменты
Все нечетные моменты из соображений симметричности графика функции плотности распределения равны нулю.
.
Четные моменты
6. Коэффициент асимметрии
.
7. Эксцесс
.
8. Вероятность попадания случайной величины на отрезок
.
Рассмотрим частный случай – вероятность попадания случайной величины на симметричный интервал
.
Учитывая свойство функции , получаем
.
Если в качестве l выбирать , то получим
. (1.17.9)
Соотношения (1.17.9) показывают, что интервал для случайной величины является зоной практического рассеяния. Эти соотношения иногда называют правилом трех сигм.