Нормальный закон распределения.

Нормальным законом распределения случайной непрерывной величины называется закон функция плотности вероятности, которого имеет вид

. (1.17.5)

Интегральная функция распределения для этого закона выражается зависимостью (1.14.3)

. (1.17.6)

После замены переменной формула (1.17.6) принимает вид

, (1.17.7)

или с учетом формулы (1.11.10)

. (1.17.8)

Функция (1.11.10) – называется нормальной стандартной функцией распределения.

Отметим основные числовые характеристики этого закона.

1. Площадь криволинейной трапеции

.

2. Математическое ожидание

.

3. Дисперсия

.

4. Среднеквадратичное отклонение

.

5. Центральные моменты

Все нечетные моменты из соображений симметричности графика функции плотности распределения равны нулю.

.

Четные моменты

6. Коэффициент асимметрии

.

7. Эксцесс

.

8. Вероятность попадания случайной величины на отрезок

.

Рассмотрим частный случай – вероятность попадания случайной величины на симметричный интервал

.

Учитывая свойство функции , получаем

.

Если в качестве l выбирать , то получим

. (1.17.9)

Соотношения (1.17.9) показывают, что интервал для случайной величины является зоной практического рассеяния. Эти соотношения иногда называют правилом трех сигм.