Пусть теперь систему образуют две случайные непрерывные величины . Законом распределения этой системы называется вероятность события
. (1.18.5)
Функцию называют еще двумерной интегральной функцией распределения вероятности.
Если , то
. (1.18.6)
Здесь – функция распределения случайной величины .
Если , то
. (1.18.7)
Здесь – функция распределения случайной величины .
Очевидно, что
.
Вычислим вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами .
(1.18.8)
Если , то из формулы (1.18.8) получается известная формула
.
Пусть значение системы случайных величин , полученные во время опыта. Дадим приращения этим значениям. Образуется элементарный прямоугольник.
Вероятность попадания в этот прямоугольник обозначим . По формуле (1.18.8) находим
.
Средняя плотность вероятности в этом прямоугольнике выражается формулой
.
Переходя к пределу при , получаем функцию плотности распределения системы случайных непрерывных величин
. (1.18.9)
Поскольку функция является неубывающей по обоим аргументам, то функция плотности вероятности всегда неотрицательна – . Можно показать, что
. (1.18.10)
Очевидно, что
.
Законы отдельных величин и , входящих в систему получаются из формул (1.18.6), (1.18.7) и имеют вид
. (1.18.11)
Случайные величины и называются независимыми, если выполняется соотношение
.
Можно показать, что в этом случае будет иметь место подобное соотношение и для функции плотности вероятностей
.