Пусть и зависимые случайные непрерывные величины. Рассмотрим два события
.
Воспользуемся формулой произведения вероятностей (1.8.2)
,
или
.
Подставляя сюда значения событий, получим
,
или
(1.18.12)
Переходя в формуле (1.18.12) к пределу при , используя теорему о среднем значении и вводя обозначение, находим
.
Здесь принимается во внимание, что и при .
Функция
, (1.18.13)
называется условной интегральной функцией распределения случайной величины при условии .
Частная производная
, (1.18.14)
называется условной функцией плотности вероятностей случайной величины при условии .
Подставляя формулу (1.18.13) в равенство (1.18.14), получим
. (1.18.15)
Проинтегрируем соотношение (1.18.15) по всей числовой оси
.
Совершенно аналогично определяются:
Условная интегральная функция распределения случайной величины при условии.
. (1.18.16)
Условная функция плотности вероятностей случайной величины при условии .
. (1.18.17)
Подставляя в последнее из равенств (1.18.11)
формулу (1.18.15), получаем
, (1.18.18)
обобщение формулы полной вероятности для случайных величин.
Совершенно аналогично получается вторая симметричная формула полной вероятности
. (1.18.19)
Формулы (1.18.15) и (1.18.17) дают аналоги формулы Байеса для случайных непрерывных величин.
. (1.18.20)