Условные законы распределения.

Пусть и зависимые случайные непрерывные величины. Рассмотрим два события

.

Воспользуемся формулой произведения вероятностей (1.8.2)

,

или

.

Подставляя сюда значения событий, получим

,

или

(1.18.12)

Переходя в формуле (1.18.12) к пределу при , используя теорему о среднем значении и вводя обозначение, находим

.

Здесь принимается во внимание, что и при .

Функция

, (1.18.13)

называется условной интегральной функцией распределения случайной величины при условии .

Частная производная

, (1.18.14)

называется условной функцией плотности вероятностей случайной величины при условии .

Подставляя формулу (1.18.13) в равенство (1.18.14), получим

. (1.18.15)

Проинтегрируем соотношение (1.18.15) по всей числовой оси

.

Совершенно аналогично определяются:

Условная интегральная функция распределения случайной величины при условии.

. (1.18.16)

Условная функция плотности вероятностей случайной величины при условии .

. (1.18.17)

Подставляя в последнее из равенств (1.18.11)

формулу (1.18.15), получаем

, (1.18.18)

обобщение формулы полной вероятности для случайных величин.

Совершенно аналогично получается вторая симметричная формула полной вероятности

. (1.18.19)

Формулы (1.18.15) и (1.18.17) дают аналоги формулы Байеса для случайных непрерывных величин.

. (1.18.20)