Рассмотрим систему двух случайных непрерывных величин . Законом распределения этой системы является нормальный закон распределения, если функция плотности вероятности этой системы имеет вид
. (1.18.35)
Можно показать, что здесь – математические ожидания случайных величин, – их среднеквадратические отклонения, – коэффициент корреляции величин . Вычисления по формулам (1.18.31) и (1.18.35) дают
. (1.18.36)
Легко видеть, что если случайные величины , распределенные по нормальному закону не коррелированны , то они являются также и независимыми
.
Таким образом, для нормального закона распределения не коррелированность и независимость – эквивалентные понятия.
Если , то случайные величины зависимы. Условные законы распределения вычисляются по формулам (1.18.20)
. (1.18.37)
Оба закона (1.18.37) представляют собой нормальные распределения. В самом деле, преобразуем, например, второе из соотношений (1.18.37) к виду
.
Это действительно нормальный закон распределения, у которого условное математическое ожидание равно
, (1.18.38)
а условное среднеквадратичное отклонение выражается формулой
. (1.18.39)
Отметим, что в условном законе распределения величины при фиксированном значении от этого значения зависит только условное математическое ожидание, но не условная дисперсия – .
На координатной плоскости зависимость (1.18.38) представляет собой прямую линию
, (1.18.40)
которая называется линией регрессии на .
Совершенно аналогично устанавливается, что условное распределение величины при фиксированном значении
, (1.18.41)
есть нормальное распределение с условным математическим ожиданием
, (1.18.42)
условным среднеквадратичным отклонением
. (1.18.43)
В этом случае линия регрессии имеет вид
. (1.18.44)
Линии регрессии (1.18.40) и (1.18.44) совпадают только тогда, когда зависимость между величинами и является линейной. Если величины и независимы, линии регрессии параллельны координатным осям.