Теорема Чебышева.

Если случайные величины попарно независимы и имеют конечные ограниченные в совокупности дисперсии

,

то для любого положительного числа выполняется равенство

.

Здесь – математические ожидания величин .

Доказательство:

Воспользуемся теоремой 8 п. 1.16. для независимых случайных величин

.

Тогда

.

Применим неравенство Чебышева в форме (1.19.2)

.

Переходя к пределу при и учитывая, что вероятность не превышает единицы получаем

. (1.19.3)

Что и требовалось доказать.