При неограниченном увеличении числа опытов частота появления события сходится по вероятности к вероятности события .
Доказательство:
Обозначим – число появлений события в независимых испытаниях, – вероятность наступления события в каждом из испытаний. Частота события выражается формулой
.
Требуется доказать, что
.
Введем случайные величины равные числу наступлений события при испытании с номером . Эти величины могут принимать значения 1 и 0 с вероятностями и . Тогда
. (1.19.4)
Вычислим математические ожидания
,
и дисперсии
.
Так как дисперсии ограничены, то теорема Бернулли является частным случаем теоремы Чебышева.
Подставляя формулу (1.19.4) в соотношение (1.19.3) и учитывая, что все , получаем
Что и требовалось доказать.