Теорема Бернулли.

При неограниченном увеличении числа опытов частота появления события сходится по вероятности к вероятности события .

Доказательство:

Обозначим – число появлений события в независимых испытаниях, – вероятность наступления события в каждом из испытаний. Частота события выражается формулой

.

Требуется доказать, что

.

Введем случайные величины равные числу наступлений события при испытании с номером . Эти величины могут принимать значения 1 и 0 с вероятностями и . Тогда

. (1.19.4)

Вычислим математические ожидания

,

и дисперсии

.

Так как дисперсии ограничены, то теорема Бернулли является частным случаем теоремы Чебышева.

Подставляя формулу (1.19.4) в соотношение (1.19.3) и учитывая, что все , получаем

Что и требовалось доказать.