Пусть над случайной величиной с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией произведено независимых опытов, давших результаты – . Вычислим состоятельные и несмещенные оценки для параметров и .
В качестве оценки для математического ожидания возьмем среднее арифметическое опытных значений
. (2.9.1)
Согласно закону больших чисел эта оценка является состоятельной, при величина по вероятности. Эта же оценка является и несмещенной, поскольку
. (2.9.2)
Дисперсия этой оценки равна
. (2.9.3)
Можно показать, что для нормального закона распределения эта оценка является эффективной. Для других законов это может быть и не так.
Оценим теперь дисперсию. Выберем сначала для оценки формулу для статистической дисперсии
. (2.9.4)
Проверим состоятельность оценки дисперсии. Раскроем скобки в формуле (2.9.4)
.
При первое слагаемое сходится по вероятности к величине , в второе – к . Таким образом наша оценка сходится по вероятности к дисперсии
,
следовательно, она является состоятельной.
Проверим несмещенность оценки для величины . Для этого подставим в формулу (2.9.4) выражение (2.9.1) и учтем, что случайные величины независимы
,
или
. (2.9.5)
Прейдем в формуле (2.9.5) к флуктуациям случайных величин
.
Раскрывая скобки, получим
,
или
. (2.9.6)
Вычислим математическое ожидание величины (2.9.6), учитывая, что
. (2.9.7)
Соотношение (2.9.7) показывает, что величина , вычисленная по формуле (2.9.4) не является несмещенной оценкой для дисперсии . Ее математическое ожидание не равно, а несколько меньше . Такая оценка приводит к систематической ошибке в сторону уменьшения. Для ликвидации такого смещения нужно ввести поправку, умножив не величину . Тогда такая исправленная статистическая дисперсия может служить несмещенной оценкой для дисперсии
. (2.9.8)
Эта оценка является состоятельной также как и оценка , поскольку при величина .
На практике, вместо оценки (2.9.8) иногда удобнее применять эквивалентную оценку, связанную со вторым начальным статистическим моментом
. (2.9.9)
Оценки (2.9.8), (2.9.9) не являются эффективными. Можно показать, что в случае нормального закона распределения они будут асимптотически эффективными (при будут стремиться к минимально возможному значению).
Таким образом, можно сформулировать следующие правила обработки ограниченного по объему статистического материала. Если в независимых опытах случайная величина принимает значения с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией , то для определения этих параметров следует пользоваться приближенными оценками
(2.9.10)