Определение предела

 

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что 0 < ïx – aï < D верно неравенство ïf(x) – Aï< e (рис. 1.1).

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а – D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А – e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке: .

Если f(x) ® A₁ при х ® а только при x < a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A₂ при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа (рис. 1.2).

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними

пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).