Промежутки монотонности и знакопостоянства

Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f ^/ (x) ³ 0.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f ^/(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b] (рис. 3.1).

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f ^/(x)£0 на этом отрезке. Если f ¢ (x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b] (рис. 3.2).

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).