Замечательные пределы

 

Найдем предел отношения двух многочленов, т.е. , где

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 +…+a_n, Q(x) = b₀x^m + b₁x_m–1 +…+b_m. Преобразуем данную дробь следующим образом

Таким образом,

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:, где е постоянная, которая приблизительно равна 2,718281828…

Часто если непосредственное нахождение предела какой-либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при х®0:

1. ~ х;

2. 1–cos x ~ ;

3. tg x ~ x;

4. arcsin x ~ x;

5. arctg x ~ x;

6. ln (1+x) ~ x;

7. a^x–1 ~ xln a;

8. ~ .