Первообразная функция и неопределенный интеграл

 

Пусть функция f(x) определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале (а; b). Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а; b), если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x), т. е.

для всех или dF(x)= f(x)dx.

функция 3x² есть производная от x³, т. е. 3x²dx есть дифференциал функции x³:

3x² dx = d(x³).

Тогда, по определению функция x³ является первообразной для функции 3x². Кроме того, выражение 3x²dx есть дифференциал функции x³+7: 3x²dx = d(x³+7).

Следовательно, функция x³+7 (как и функция x³) – первообразная для функции 3x².

Если F(x) есть одна из первообразных для функции f(x), то всякая другая представляется выражением F(x)+C, где C – произвольная постоянная величина.

Таким образом, любая непрерывная функция f(x) имеет бесчисленное множество первообразных.

Неопределенным интегралом от функции f(x) (или от выражения f(x)dx) называется совокупность всех ее первообразных.

Обозначение: .

Здесь знак называется интегралом, функция f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.

Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования (нахождения производной от функции). Всякая непрерывная на данном интервале функция имеет неопределенный интеграл.