8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
Для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке [a;b]функции f(x) в том случае, когда может быть найдена ее первообразная F(x) служит формула Ньютона-Лейбница:
,
т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
При интегрировании четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования используют формулу
Пример. Вычислить определенные интегралы.
1).
2)
8.2.2. Метод подстановки
При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (метод подстановки) данный интеграл преобразуется с помощью подстановки t=y(x) или x=j(t) в определенный интеграл относительно новой переменной интегрирования t. При этом старые пределы интегрирования a, b заменяются новыми переделами интегрирования a и bсоответственно, которые находятся из исходной подстановки.
Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: a=y(a), b=y(b). Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений j(a)=a, j(b)=b относительно a и b.
Таким образом, имеем
Здесь предполагается, что функции j(t) и j΄(t) непрерывны на отрезке [a; b], а функция f(j(t)) определена и непрерывна на отрезке a£ t£ b.
Пример. Вычислим методом подстановки интеграл .
Решение. Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки t=2x–1. Дифференцируя, получим dt=2dx, откуда dx=dt/2. Находим новые пределы интегрирования: подставляем в соотношение t=2x–1 значения x=2, х=3. Тогда получим α=3, β=5. Следовательно,
.
В дальнейшем при решении методом подстановки будем использовать форму записи как в неопределенном интеграле, используя вертикальные скобки.
8.2.3. Интегрирование по частям
Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то для вычисления определенного интеграла используют формулу , которая называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Положим Тогда По формуле интегрирования по частям имеем
.