Формула Симпсона

(формула парабол или квадратурная формула)

 

Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков п=2m. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x₀), f(x₁), f(x₂).

Для каждой пары отрезков построим такую параболу (рис. 8.4.1).

Уравнения этих парабол имеют вид Ax² + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

(9.4)

Обозначим .

Если принять х₀ = –h, x₁ = 0, x₂ = h, то

(9.5)

Тогда уравнения значений функции (9.4) имеют вид:

C учетом этого: .

Отсюда уравнение (8.5.1) примет вид:

Тогда

Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.