№4. Найти общее решение уравнения (х+у)dx–xdy=0.
Решение. Данное уравнение является однородным уравнением первой степени относительно переменных х и у. Действительно,
P(λx, λy)=λx+λy=λ(x+y)= λP(x,y), Q(λx, λy)= –λx=λ(–x)=λQ(x, y).
Положим у=uх, где u – новая функция от х. Найдем дифференциал произведения: dy=хdu+udх. Подставив выражение у и dy в данное уравнение, получим
(х+uх)dх–х(хdu+udх)=0, откуда хdх+uхdх–х2du–хudх=0; хdх–х2du=0 или dх–хdu=0.
Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, находим
, .
Заменяя в полученном выражении u на , получим у=xln(Cx). Это и есть общее решение данного уравнения.
Отметим, что заданное уравнение можно было сначала привести к виду (9.3.2):
. Иначе . Далее применять указанную выше подстановку и т.д.
№5. Найти общее решение уравнения:.
Решение. Это однородное уравнение третьей степени. Преобразуем его к виду (10.6):
Полагая у=uх, находим Подставим значения в данное уравнение: . Преобразовывая, получим уравнение с разделяющимися переменными . Разделяя переменные и интегрируя, находим:
.
Подставим теперь в полученное решение. Имеем где .
Итак, общее решение исходного уравнения
№6. Найти частное решение уравнения если у=–1 при х=1.
Решение. Перепишем уравнение в виде
х2dy = (xy + y2)dx (*)
и воспользуемся подстановкой у=uх. Тогда dy= udх+ хdu. Подставив выражение у и dy в уравнение (*), имеем
х2(udх + хdu)=(х.uх+u2х2)dх;
x2(udx+xdu)=x2(u+u2)dx;
udx+xdu= udx+ u2dx; т.е.
xdu= u2dx.
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим
.
Так как u=, то .
Используя начальные условия х=1, у= –1, имеем 1=ln1+C, откуда С=1. Следовательно,
,
Отсюда получаем искомое частное решение данного уравнения .
№7. Привести дифференциальное уравнение
к однородному.
Решение. Иначе это уравнение можно записать так . Здесь , поэтому положив x=u+α, y=v+β, получаем (u+β+2)du–(2u+2α+v+β+6)dv=0, т. е.
(u+(β+2))du–(2u+v+(2α+β+6))dv=0.
Подберем α и β так, чтобы Решая систему, находим
α=–2, β=–2. Тогда данное уравнение преобразуется к виду (10.5): , т.е. является однородным.