Метод вариации произвольной постоянной

Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ Разделяя переменные и интегрируя, получим ln|x| =ln|y| +ln|C₁|, C₁.

Общее решение ЛОДУ можно записать так х= Су, (так как х=0 – решение).

Общее решение заданного (преобразованного) уравнения ищем в виде х=С(у)у (постоянную С заменили неизвестной функцией С(у)). Подставляя х и в ЛНДУ, придем к равенству:

, т.е.

.

Отсюда . Интегрируя, имеем С(у) = у + С.

Таким образом, общее решение ЛНДУ есть х = (у + С)у или х = у² + Су. Заметим, что у=0 также является решением, и для нашего примера оно является особым.