Условная вероятность, закон умножения вероятностей

 

Условная вероятность события В – это вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло. Обозначается Р(В|А).

 

В коробке содержится 3 белых и 3 желтых таблетки. Из коробки дважды вынимают наугад по одной таблетке, не возвращая их в коробку. Найти вероятность появления белых таблеток при втором испытании (событие В), если при первом испытании была извлечена желтая таблетка (событие А).

Решение: После первого испытания в коробке осталось 5 таблеток, из них 3 белых. Искомое условие вероятности: Р(В/А) = = 0,6.

 

В коробке находится 8 красных и 6 белых таблеток. Из коробки последовательно без возвращения извлекают 3 таблетки. Найти вероятность того, что все 3 таблетки белые.

Решение:

Обозначим; А₁ – первая таблетка белая, А₂ – вторая таблетка белая, А₃ – третья таблетка белая.

Р(A₁A₂A₃)=P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂);

P(A₁)=; P(A₂/A₁)=; P(A₃/A₁A₂)=;

P(A) = P(A₁A₂A₃)= .

 

Произведение двух событий – это событие, состоящее в совместном появлении этих событий А и В.

Событие В называются независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности появления события В.

Вероятность появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Для зависимых событий:

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло.

Вероятность того, что у взрослого пациента все зубы сохранились равна 0,67. Какова вероятность того, что у двух не имеющих отношения друг к другу больных, ожидающих приема в кабинете стоматолога, есть все зубы?

Решение: Р(А В) = Р(А) Р(В) = 0,67 0,67 = 0,45.

 

В терапевтическом отделении больницы 70 % пациентов — женщины, а 21 % — курящие мужчины. Наугад выбирают пациента. Он оказывается мужчиной. Какова вероятность, что он курит?

Решение: Пусть М означает, что пациент — мужчина, а К — что пациент курит. Тогда в силу условия задачи Р(М) = 0,3, а Р(МК) = 0,21. Поэтому условная вероятность

 

Найти вероятность того, что в семьях из двух детей: 1) оба ребенка - мальчики; 2) оба ребенка - девочки; 3) старший ребенок мальчик, а младший - девочка. Вероятность рождения мальчика-0,515.

Решение:

Р(ММ) = Р(М) Р(М) = 0,5150,515 = 0,265;

Р(ДД) = 0,4850,485 = 0,235;

Р(МД) = 0,5150,485 = 0,25.

 

Известно, что в 3 случаях из 250 на свет появляются близнецы, причем в одном случае - это истинные (монозиготные) близнецы. Какова вероятность, что у определенной беременной женщины родятся близнецы мальчик и девочка. Учтите, что однояйцовые близнецы никогда не бывают разных полов - это обязательно либо 2 мальчика, либо 2 девочки.

Решение: Вероятность иметь дизиготных близнецов равна:

P(A)=;

1–P(B)=.

Искомая вероятность:

 

Вероятность того, что студент в летнюю сессию сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: 1) только второй экзамен; 2) все три экзамена.

Решение: l) P(B) = P(A₂) = P()P(A₂)P() = 0,10,90,2 = 0,018;

2) Р(A₁A₂A₃)=P(A₁)P(A₂)P(A₃) = 0,90,90,8 = 0,648.

 

В группе обследуемых 1000 человек. Из них 600 курящих и 400 некурящих. Среди курящих 240 человек имеют те или иные заболевания легких. Среди некурящих легочных больных 120 человек. Являются ли курение и заболевание легких независимыми событиями?

Решение. Пусть событие А – обследуемый курит, событие В – обследуемый страдает заболеванием легких.

Тогда согласно условию задачи

Так как 0,36 ≠ 0,4, события А и В зависимы.

 

Вероятность выживания одного организма в течение 20 минут Р = 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут живы?

Решение. Пусть событие А — первый организм жив через 20 мин, событие В — второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что между организмами нет внутривидовой конкуренции, т. е. события А и В независимы. Событие, что оба организма живы, есть событие АВ. Получаем:

Р(АВ) = 0,7·0,7 = 0,49.

 

Вероятность появления хотя бы одного из событий A₁, А₂, ...,А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , , .

 

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один стрелок.

Решение: Вероятность того, что в мишень попадет первый стрелок и не попадет второй, равна:

P(A₁) = 0,7(1 – 0,8) = 0,70,2 = 0,14.

Вероятность того, что попадет второй стрелок в мишень и не попадет первый, равна:

P(A₂ ) = (1 – 0,7)0,8 = 0,30,8 = 0,24.

Вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок, равна сумме этих вероятностей:

P(A₁) + P(A₂ ) = 0,14 + 0,24 = 0,38.

 

Сколько должна планировать пара иметь детей, чтобы вероятность хотя бы одного мальчика была выше 90% (вероятность рождения мальчика и девочки 0,5).

Решение: Пусть вероятность того, что все девочки:

Вероятность того, что не все девочки:

P(хотя бы один мальчик) = .