1. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:
.
Свойства математического ожидания:
M(C)=C, где C – произвольная постоянная
M(CX)=C·M(X)
M(X±Y)=M(X)±M(Y)
M(X·Y)=M(X) M(Y)
Пример 5.
Известны значения распределения случайных величин X и Y - число очков выбиваемых первым и вторым стрелками.
0,15 | 0,11 | 0,04 | 0,05 | 0,04 | 0,10 | 0,10 | 0,04 | 0,05 | 0,12 | 0,20 |
0,01 | 0,03 | 0,05 | 0,09 | 0,11 | 0,24 | 0,21 | 0,10 | 0,10 | 0,04 | 0,02 |
Необходимо выявить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Построить многоугольники распределения.
Решение:
Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков.
М(Х) = 00,15 + 10,10 + 20,04 +...+ 90,12 + 100,2 = 5,36.
M(Y) = 00,01 + 10,030,05 +...+ 90,04 + 100,02 = 5,36.
То есть среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаково.
2. Дисперсия дискретной случайной величины. Слово "дисперсия" означает "рассеяние":
D(X) = M(X-M(X))2 или D(X) = M(X2)-(M(X))2.
Дисперсией D(x) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.
Свойства дисперсии:
D(C)=0, где C – произвольная постоянная
D(CX)=C2·D(X)
D(X±Y)=D(X)+D(Y)
Если X- дискретная случайная величина, то или , где a=M(X).
3. Среднее квадратическое отклонение σ (стандартное отклонение или стандарт) случайной величины X- это арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:
В примере 5 о стрелках вычислить дисперсию числа выбитых очков для каждого стрелка.
Решение: Очевидно, что лучше стрелял тот стрелок, у которого при равенстве средних значений числа выбитых очков меньше отклонение этого числа относительно среднего значения (дисперсия).
D(X) = (05,36)20,15 + (1 - 5,36)20,11 +...+ (10-5,36)20,2 =13,6.
D(Y) =(05,36)20,01 + (1 - 5,36)20,03 +...+ (10-5,36)20,02 =4,17.
Ответ: Дисперсия меньше у второго стрелка.