Если функция f(х) дифференцируема в точке х0, то ее приращение можно представить в виде
Δf(х0) = f /(x0)×Δх + α(Δх)× Δх. (2.3)
В этом случае выражение f /(x0)×Δх, линейно зависящее от Δх, называется дифференциалом функции f(х) в точке х0 и обозначается символом df(x):
df(x) = f '(x0)·Δx.
Дифференциал функции равен произведению производной функции на приращение ее аргумента.
Термин «дифференциал» происходит от латинского слова differentia, означающего различие.
Дифференциал функции есть главная часть приращения функции. В этом состоит аналитический смысл дифференциала.
Дифференциал аргумента dx равен его приращению ∆x: dx=∆x. Поэтому можно записать df=f /(x)dx (дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента).
Если приращение аргумента ∆x близко к нулю (достаточно мало), то приращение функции Δf приближенно равно ее дифференциалу, т.е. Δf» df, откуда f(х0 +∆x) ≈ f /(x0)+df или
f(х0 +∆x) ≈ f /(x0)+f /(x0) ∆x (2.4)
Формула (2) используется для приближенного вычисления значения функции f(x) в точке x0+∆x по известному значению этой функции и ее производной в точке x0.