Какие системы счисления используются для общения с ЭВМ?

Кроме десятичной системы широко используются системы с основанием, являющимся степенью числа 2, а именно:

-двоичная (используются цифры 0,1);

-восьмеричная (используются цифры 0,1,…,7);

-шестнадцатеричная ( для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0,1,…,9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати - в качестве цифр используются символы А, B,С,D,Е, F).

Один из первых создателей электронных вычислительных машин профессор А.А. Танасов ( 1903 г.рождения) предложил использовать в ЭВМ именно двоичную систему счисления. Возникает естественный вопрос - чем же эта система лучше десятичной? К десятичной системе мы привыкли, она нам кажется простой и понятной. Оказывается, двоичная система применительно к ЭВМ, имеет ряд преимуществ по сравнению с десятичной.

1. Если нужно представить числа в десятичной системе счисления, то для воспроизведения (реализации) каждого разряда произвольного числа необходимо иметь 10 различных устойчивых состояний соответствующего запоминающего устройства. В двоичной же системе счисления любое число представляется набором цифр, состоящим только из нулей и единиц, т.е. в каждом разряде нужно уметь представить лишь два устойчивых состояния.- одно должно соответствовать нулю, другое-единице. Нет нужды доказывать, что технически реализовать два различных устойчивых состояния проще, чем десять.

2. Представление информации посредством только двух состояний: надежно и помехоустойчиво;

3. Возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

4. Двоичная арифметика намного проще десятичной;

5. Двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты.

Недостаток двоичной системы- быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Двоичная система, удобная для ЭВМ, для человека неудобна из – за её громозкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать ЭВМ, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах читаются, почти так же легко, как десятичные, но требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной система (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Контрольные вопросы:

Что такое информация?
В каких видах может быть представлена информация?
Как происходит кодирование текстовой информации?
Какие системы счисления вы знаете?
Чем отличается позиционная система от непозиционной?
Приведите примеры непозиционной системы счисления.
Как осуществляется перевод целых чисел?
Как осуществляется перевод дробных чисел?

Тема 2.2 Основные информационные процессы

2.2.1 Принципы обработки информации компьютером

2.2.1.1 Принципы обработки информации компьютером

Машинные коды

Для алгебраического представления чисел (т. е. для представления положительных и отрицательных чисел) в машинах используются специальные коды: прямой, обратный и дополнительный. Причем два последних позволяют заменить неудобную для ЭВМ операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом; дополнительный код обеспечивает более быстрое выполнение операций, поэтому в ЭВМ применяется чаще именно он.

Прямой код двоичного числа образуется из абсолютного значения этого числа и кода знака (нуль или единица) перед его старшим числовым разрядом.

А₁₀ = +10; А₂ = +1010; [А₂]_п = 01010;

В₁₀ = -14; В₂ = -1110;. [В₂]_п = 11110.

Обратный код двоичного числа образуется по следующему правилу. Обратный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Обратный код отрицательного числа содержит единицу в знаковом разряде числа, а значащие разряды числа заменяются на инверсные, т.е. нули заменяются единицами, а единицы —нулями.

А₁₀=+4; А₂=+100; [А₂]_п=[А₂]_о=0100;

В₁₀ = -12; В₂ = -1100;. [В₂]_о = 10011.

Дополнительный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа представляет собой результат суммирования обратного кода числа с единицей младшего разряда (2° — для целых чисел, 2^-к — для дробных).

А₁₀ = +18; А₂ = +10010; [А₂]„ = [А₂]₀ = [А_г]_а = 010010;

В₁₀ = -12; В₂ = -1100; [В₂]_л = [В₂]₀+2°= 10011 + 1 = 10100.

Модифицированные обратные и дополнительные коды

двоичных чисел отличаются соответственно от обратных и дополнительных кодов удвоением значений знаковых разрядов. Знак «+» в этих кодах кодируется двумя нулевыми знаковыми разрядами, а знак «-» — двумя единичными разрядами.

А₁₀ = 8; А₂ = +100; [А₂]_п = [А₂]₀ = [А₂]_п = 0100;

[А₂]_мо= [А₂]_мд = 00100;

В₁₀ = -8; В₂ = -100;. [В₂]_о = 1011; [В₂]_д = 1100;

[В₂]_мо=11011; [В₂]_мд = 11100;

Целью введения модифицированных кодов являются фиксация и обнаружение случаев получения неправильного результата, т.е. когда его значение превышает максимально возможный результат в отведенной разрядной сетке машины. В этом случае перенос из значащего разряда может исказить значение младшего знакового разряда. Значение знаковых разрядов «01» свидетельствует о положительном переполнении разрядной сетки, а «10» — об отрицательном переполнении. В настоящее время практически во всех моделях ЭВМ роль удвоенных разрядов для фиксации переполнения разрядной сетки играют переносы, идущие в знаковый и из знакового разряда.

Знания о предметных областях выражаются в форме суждений. Суждения —это некоторые высказывания, которые могут быть истинными или ложными. Например истинными суждениями являются суждения «Снег белый», «2*2 = 4»и т.п., ложными- «Земля плоская», «6*4=25» и т.п..

Суждения подразделяются на общие и частные. Общие суждения характеризуют свойства групп объектов или явлений. Например, суждения «Если прошёл дождь, то на улице мокро»и «Х²≥0»—общие. Частные суждения выражают конкретные (частные) факты. Примеры — «Сегодня был дождь», «2+3 ≠ 4»и т.п..

Общие суждения могут оказаться истинными для каких-то одних объектов и ложными для других. Например, утверждение «Собаки не любят кошек» справедливо для большинства собак, но не для всех. Общее суждение называется тождественно истинным, если оно справедливо для любых объектов, о которых в нём говорится. Например, тождественно истинным является суждение «Х²≥0». Тождественно- истинные суждения особенно ценны тогда, когда выражают закономерную связь вещей. Например суждение «а+в=в+а» является справедливым для любых действительных чисел и выражает закон арифметики.

Суждения могут быть сложносоставными, т.е. состоящими из простых, связанных отношениями И, ИЛИ, НЕ. Связка И в составных суждениях всегда предполагает одновременную истинность составляющих суждений. Например: «Этот человек умный и трудолюбивый». Связка ИЛИ в составных суждениях может играть двойственную роль — разделяющую или объединяющую. Например, в суждении «Дождь будет или не будет» связка ИЛИ играет разделяющую роль, а в суждении «Дождь будет днём или вечером» — объединяющую.

В математической логике составные суждения со связкой И считаются истинными, когда истинны все их составляющие суждения и ложными в случае ложности хотя бы одного из них. Составное суждение со связкой ИЛИ считается истинным, если хотя бы одно из составляющих его суждений истинно и является ложным, если ложны все его составляющие.

Связка НЕ применяется для формулировок отрицаний. Например, отрицанием утверждения «Сегодня хороший день» является утверждение «Сегодня нехороший (плохой) день».

Для отрицаний справедливо правило: отрицание истинно тогда, когда ложно исходное суждение, и, наоборот, отрицание ложно, если верно исходное суждение. Суждения в математической логике называют также высказываниями и предикатами. Высказывания — это частные суждения, предикаты — это общие суждения. Логические связки И, ИЛИ, НЕ называются, также, логическими операциями. Для описания электронных схем ЭВМ на логическом уровне пользуются аппаратом алгебры логики или другими словами исчисления высказываний (частных суждений). Простые высказывания в этом контексте называют логическими переменными, а сложные — логическими функциями этих переменных. Высказывания оценивают только по их истинности или ложности. Считают, что высказывание равно 1, если оно истинно, и равно 0, если оно ложно. Два высказывания называются эквивалентными, если их значения истинности одинаковы.

Принято логические переменные (т.е. простые высказывания) обозначать буквами латинского алфавита, приписывая им значения истинности следующим образом: А=1, В=0 (А- истинно, В- ложно). Отношение эквивалентности высказываний выражается следующим образом: А=В.

Для любой логической функции X=f(A,B,C,...), называемой также переключательной или булевой функцией, сама функция X и её переменные А,В,С,... могут принимать только значения 0 или 1.

Построение логических схем ЭВМ обычно осуществляется на основе переключательных функций. Образование переключательной функции из её логических переменных осуществляется с помощью операций И, ИЛИ, НЕ. Электронные схемы, реализующие эти операции, называют логическими элементами. Рассмотрим логические операции детально.

Операция НЕ (логическое отрицание, инверсия). Отрицанием высказывания А называется операция, результат X которой истинен, когда А ложно, и ложен, когда А истинно. Отрицание обозначается следующим образом:

Х=А, которая читается так: X есть инверсия от А. Таблица истинности, отражающая её значения при всевозможных комбинациях логических переменных, в неё входящих, имеет вид:

НЕ

А	X

Электронная схема, реализующая операцию отрицания, называется инвертором или схемой НЕ. Её условное графическое изображение имеет вид:

Вход

Выход

На выходе элемента НЕ появляется сигнал при его отсутствии на входе. Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция). Это логическая операция над двумя переменными А и В, результат X которой истинен, если хотя бы одна из составляющих его переменных истинна. Операция ИЛИ обозначается символом «+», который соответствует союзу «или»; знаком «+», обозначающим логическое сложение: Х=А U В, или Х=А + В.

ИЛИ

А	В	X


¹

Электронная схема, реализующая операцию ИЛИ, называется логической схемой ИЛИ, дизъюнктором или разделительной схемой. Её условное графическое изображение

имеет вид:

X=AUB

Входы Выход

На выходе элемента ИЛИ сигнал соответствующий 1 появляется в том случае, если есть сигнал 1 хотя бы одном из его входов. Следует отметить, что операция ИЛИ справедлива для любого числа логических переменных, т.е. X=AUBUC ...UN.

Операция И (логическое умножение, конъюнкция). Это логическая операция над двумя переменными А и В, результат X которой истинен, если истинны значения обеих переменных. Операция И обозначается символом «П», который соответствует союзу «и»; знаком умножения «*», обозначающим логическое умножение:

Х= А ∩ В, или Х= А*В.

А	В	X

Электронная схема, реализующая операцию И, называется логической схемой И, конъюнктором, схемой совпадения. Условное графическое обозначение элемента

И имеет вид:

X=A∩B

Входы Выходы

На выходе элемента И сигнал, соответствующий 1, появляется только в том случае, если есть сигналы на всех его входах. Следует отметить, что операция И справедлива для любого числа логических переменных, т.е. Х= А П В П С ... П N.

В самом общем случае логическая функция может быть представлена следующей формулой:

f(X,,X₂,... ,Х_П),

где Xi,X₂,... ,Х_П- логические переменные.

Логические переменные могут быть действительными и фиктивными. Переменная X действительна, если значение функции, куда она входит, изменяется при изменении значения этой переменной. В противном случае она фиктивна. Обычно логические функции многих переменных задаются таблично. Рассмотрим табличное определение функции трёх переменных:

X₁	Х₂	Х₃	F(X_1,Х₂,Х₃)

Из таблицы видно, что переменные Х₁,Х₂-действительные, а переменная Х₃- фиктивная, т.к. справедливо соотношение f(X_1,X₂, 0)= =f(X_bX₂, 1), при любых комбинациях Х₁и Х₂. Следовательно, для функций алгебры логики (логических функций) существует возможность сокращать (расширять) количество переменных, в них входящих, за счёт устранения (введения) фиктивных переменных.

Контрольные вопросы:

1.Как образуется прямой код числа?

2.Как образуется обратный код числа?

3.Чему равен дополнительный код отрицательно числа?

4.Что такое инверсия?

5.Что такое дизъюнкция?

6.Что такое конъюнкция?

7.Как обозначается отрицание?