Рекурсивные системы.

Особенным случаем однопериодных систем уравнений являются рекурсивные системы. Они позволяют применить МНК к оценке отдельных уравнений системы именно тогда, когда динамическая система представлена в форме однозначной причинной цепи соотношений. Важнейшими допущениями построения рекурсивных систем является их линейность, учет только погрешностей уравнений (погрешности переменных в систему не вносятся). Эти погрешности или отклонения должны быть случайными величинами с нулевым средним значением, постоянным рассеянием и независимыми между собой. Они нормально распределены, не имеют автокорреляции, и корреляция рядов тоже отсутствует.

Пример 4.Известным примером рекурсивных систем является спрос и предложением сельскохозяйственных продуктов, производство которых требует определенного времени. Система имеет вид:

(22)

(23)

Y_1t – количество продукта в момент t;

Y_2t – цена продукта в момент t;

_L1t – цена продукта в момент t;

L_2t – любая заранее определенная переменная, например экзогенная переменная прибыли населения в момент t;

U_1t, U_2t – случайные переменные.

Уравнение (22) – это функция предложения. Оно не должно включать Y_2t – цену продукта в тот же момент. На самом деле, количество предложенного сельскохозяйственного продукта зависит не от текущей цены, а, возможно, от Y_2,t-1 – цены предыдущего года, когда началось производство этого продукта. L_1t – предопределенная переменная.

Второе уравнение (23) – уравнение спроса. Здесь цена в году t (или Y_2t) зависит от количества продукта в том же году Y_1t. Матрица коэффициентов однопериодных эндогенных переменных Y_1t и Y_2t – треугольная:

.

Пример 5.Рассмотрим частично динамическую модель, которая состоит из уравнения предложения (пример 2) и уравнения спроса на свинину (пример 6). Если обозначить для года t логарифм количества символом Y_1t, а символом Y_2t – логарифм цены свинины в t-ом году, то система будет состоять из двух уравнений:

(24)

(25)

Первое уравнение (24) – это уравнение предложения, поскольку для производства свинины необходимо некоторое время, то количество Y_1t (эндогенная переменная), предложенное на рынок в году t, зависит не от цены этого года, а от цены предыдущего года L_1t.

L_1t­ – предопределенная переменная. Случайная переменная U_1t представляет погрешности в этом уравнении и заменяет те переменные, которые должны были бы войти в него, но которыми пренебрегли: показатели затрат, технологические перемены, болезни животных и т.д.

Второе уравнение (25) – это уравнение спроса на свинину. Здесь достигнутая на рынке цена Y_2t в году t зависит от предложенного в этом же году количества свинины Y_1t. Y_1t и Y_2t являются эндогенными переменными.

Случайная переменная U_2t представляет погрешности в уравнении спроса и заменяет такие не включенные в уравнение переменные, как: погода, цены конкурирующих и заменяющих продуктов, прибыль и т.д.

Система (24)-(25) - рекурсивная и (если пренебречь стохастическими переменными) отображает однозначные причинные зависимости: от цены в этом году посредством уравнения предложения (24) к количеству в следующем году; с помощью уравнения спроса (24); от количества в этом году к соответствующей цене; от этой цены посредством уравнения предложения (24) снова к количеству в следующем году и т.д.

Теперь покажем, что уравнения (24) и (25) идентифицированные. Уравнение (24) не включает одну переменную (Y_1t), т.е., по правилу идентификации, на единицу меньше, чем количество эндогенных переменных. Поэтому уравнение (24) точно идентифицировано. Аналогично, точно идентифицировано и уравнение (25).

Если теперь допустить, что случайные переменные U_1t и U_2t нормально распределены, имеют средние значения, равные нулю, и неизвестные рассеяния без автокорреляции и корреляции рядов и, кроме того, друг от друга не зависят, то можно использовать МНК для оценки уравнений (24) и (25).

Вычисление уравнения предложения (24) было сделано в примере 2 по данным таблицы 4. Уравнение регрессии имело такой вид:

Коэффициент корреляции R=0,31257, который свидетельствует о слабой связи между Y_1t и L_1t­.

Эмпирическое значение t–статистики равняется 0,806, что ниже табличного значения (t_табл. = 2,447), взятого для уровня существенности 0,95 и N-K=6 степеней свободы. Это свидетельствует о незначимости полученной оценки коэффициента регрессии b₁₂.

Для вычисления функции спроса возьмем данные таблицы 4 из задачи 1. По методу наименьших квадратов:

Уравнение регрессии имеет такой окончательный вид:

Проверка t–статистики свидетельствует о незначимости коэффициента регрессии (t_табл. > t) для уровня существенности 0,95 и 6 степеней свободы.

Коэффициент регрессии b₂₁ представляет эластичность цены. Чтобы вычислить эластичность спроса, найдем обратное значение b₂₁: