Цель:Изучение основ линейной алгебры и аналитической геометрии; формирование навыков использования математического аппарата; развитие аналитического мышления.
Содержание:
1. Элементы общей алгебры.Бинарная алгебраическая операция. Определения и простейшие свойства группы, подгруппы, кольца, поля. Поле комплексных чисел. Действия над комплексными числами (в алгебраической и тригонометрической формах).
2. Теория матриц. Матрицы и основные операции над ними, и их свойства.
3. Определители. Определение и простейшие свойства определителей. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Разложение определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа. Обратные матрицы. Решение квадратной системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной основной матрицей по формулам Крамера.
4. Линейные пространства. Определение, примеры и простейшие свойства линейного пространства. Линейная зависимость и её свойства. Базис и ранг системы векторов, размерность линейного пространства. Подпространства линейного пространства, примеры. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств. Изоморфизм линейных пространств.
5. Системы линейных алгебраических уравнений. Ранг матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Пространство решений однородной системы. Фундаментальная система решений. Структура общего решения неоднородной системы.
6. Билинейные и квадратичные формы. Линейные и билинейные формы. Матрица билинейной формы. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методами Лагранжа и Якоби. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Определители Грама. Закон инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.
7. Линейные операторы в линейных пространствах. Определение и примеры линейных операторов. Композиция линейных операторов. Ядро, образ, дефект и ранг линейного оператора. Матрица линейного оператора. Эквивалентные и подобные матрицы. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Сопряженные операторы. Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном (ортогональном) базисе. Линейные операторы в вещественном линейном пространстве. Основные свойства симметричных и ортогональных операторов.
8. Элементы n - мерной аналитической геометрии. Определение n - мерного аффинного пространства. Различные способы задания прямой в аффинном пространстве (векторный, в параметрическом виде, канонический, по двум точкам). Основные задачи. m - плоскости и гиперплоскости в аффинном пространстве. Различные виды уравнения плоскости (векторный, параметрический, по точке и нормали, по точке и направляющим векторам, по n точкам). Основные метрические задачи. Кривые второго порядка и их классификация. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Поверхности второго порядка и их классификация.
Требования к освоению дисциплины:
Знать: основные методы и содержание линейной алгебры и аналитической геометрии.
Уметь: применять на практике математические методы линейной алгебры и аналитической геометрии для решения практических задач.
Владеть: навыками численного решения систем линейных алгебраических уравнений, методами решения основных задач векторной, а также линейной алгебры и аналитической геометрии.
Разработчики:доцент кафедры математики Шатохин Н.Л.