Цель:Изучить численные методы решения задач математического анализа, алгебры и обыкновенных дифференциальных уравнений; численные методы решения задач математической физики; методы решения сеточных уравнений.
Содержание:
1. Математическая модель и погрешности.Понятиематематической модели и процесс решения прикладных задач. Источники и классификация погрешностей. Элементы теории погрешностей. Представление чисел в компьютере и погрешность.
2. Алгебраические и трансцендентные уравнения. Аналитический и графический методы локализации корней. Уточнение корней методами половинного деления; итераций; хорд; касательных (Ньютона); секущих. Методы итераций и Ньютона решения систем нелинейных уравнений.
3. Вычислительные методы линейной алгебры.Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса; итерационным методом, методом Зейделя. Погрешность решения и обусловленность системы уравнений. Вычисление определителя, обратной матрицы, собственных чисел и собственных векторов матрицы.
4. Приближение функций.Интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа. Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа. Равномерное приближение функций, многочлены Чебышева. Интерполяция сплайнами. Аппроксимация. Метод наименьших квадратов.
5. Численное дифференцирование.Графическое дифференцирование. Разностные формулы. Разностные формулы для обыкновенных производных. Разностные формулы для частных производных. Вычисление производных с помощью интерполяционных формул с равномерным и неравномерным распределением узлов. Практическая оценка погрешности. Метод Рунге-Ромберга.
6. Численное интегрирование.Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков. Правило Рунге оценки погрешности.
7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.Задача Коши. Методы Рунге, Эйлера, Рунге-Кутта. Метод Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага. Правило Рунге оценки погрешности. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений и уравнений высших порядков. Методы прогонки и стрельбы (пристрелки).
8. Уравнения в частных производных. Разностный метод для уравнения колебаний – уравнения колебания струны в явной и неявной схеме. Разностный метод для уравнения колебаний мембраны и уравнения теплопроводности. Разностный метод для эллиптического уравнения.
Требования к освоению дисциплины:
Знать: основные методы численного анализа и основные математические модели канонических систем и процессов в естествознании и технике.
Уметь: использовать численные методы для решения практических задач и проводить необходимые расчеты в рамках построенных моделей.
Владеть: математическим аппаратом численного анализа, математической символикой для выражения количественных и качественных отношений объектов и численными методами решения прикладных задач.
Разработчики: доцент кафедры математики Шатохин Н.Л.