Цель:формирование стохастической культуры студента, фундаментальная подготовка в области стохастического анализа, овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.
Содержание:
1. Общее определение случайного процесса. Конечномерные распределения. Теорема Колмогорова о существовании процесса с заданным семейством конечномерных распределений. Условия согласованности. Функциональные характеристики случайных процессов и их преобразования. Примеры.
2. Стационарные случайные процессы (в широком и узком смысле). Автоковариационная и автокорреляционная функции, их свойства. Теорема Бохнера-Хинчина. Спектральная функцияи спектральная плотность. Спектральное представление (дискретное время).
3. Цепи Маркова с дискретным временем и конечным числом состояний. Классификация состояний. Предельное распределение. Цепи Маркова с бесконечным числом состояний. Эргодичность и возвратность. Моделирование цепей Маркова.
4. Случайные блуждания.Случайные блужданияна целочисленной прямой и в пространстве. Возвратность. Задача о разорении для двух игроков.Моделирование случайных блужданий. Ветвящиеся процессы. Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона. Вероятности вырождения и предельные распределения.
5. Случайные процессы с непрерывным временем.Различные виды непрерывности и дифференцируемости, х критерии. Теорема Колмогорова о непрерывной модификации. Примеры.
6. Пуассоновский процесс и поток (на прямой). Эквивалентные определения. Сложный пуассоновский процесс. Моделирование простого и сложного пуассоновских процессов. Пуассоновское точечное поле.
7. Цепи Маркова с непрерывным временем. Прямое и обратное уравнения Колмогорова. Критерии эргодичности.
8. Броуновское движение. Винеровский процесс, его построение и свойства. Моделирование винеровского процесса.
Требования к освоению дисциплины:
Знать: основные понятия случайных процессов, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений, основы компьютерного моделирования стохастических объектов и явлений.
Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области случайных процессов, доказывать утверждения, моделировать на компьютере стохастические объекты и явления.
Владеть: математическим аппаратом случайных процессов, методами решения
задач и доказательства утверждений в этой области, методами компьютерного моделирования.
Разработчик: профессор кафедры математики Г.С.Евдокимова