Алгебра случайных событий

Между случайными событиями и множествами существует связь. Совокупность элементарных событий можно назвать множеством (пространством) элементарных исходов, которое обозачается: W. Соответственно, пространство элементарных исходов рассматривается как универсальное множество по отношению к случайным событиям. Любое случайное событие А состоит из одного и более элементарных исходов. Если элементарный исход обозначить через w, тогда случайное событие А можно рассматривать как подмножество пространства W:

А={w Î W | w Ì A}.

Достоверному событию соответствует всё пространство W. Невозможное событие описывается пустым множеством Æ.

Событие, состоящие в наступлении хотя бы одного из событий А или В, называется суммой (объединением) этих событий и обозначается: А+В или А È В (рис.2.1). Сумму событий можно рассматривать как объединение соответствующих множеств. Пример. Двое стреляют по мишени. Попадание в цель это событие, состоящее из суммы событий: попал первый или второй или оба стрелка.

Событие, состоящее в наступлении обоих событий: А и В, называется произведением (пересечением) событий А и В и обозначается: А × В или А Ç В (рис. 2.2). Произведение событий можно рассматривать как пересечение соответствующих множеств. Для совместных событий А Ç В ¹ Æ. Пример. Двое стреляют по мишени. Попадание в цель сразу двух стрелков это событие, состоящее из совместного появления событий: попал первый и второй стрелок.

Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается: А\В или А-В (рис. 2.3).

Событие, обозначаемое через`А, называется противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.

Пример 1.

Стрелок попал в цель – это событие А. Стрелок не попал в цель – это событие`А.

Зависимые события. Событие А происходит при условии, что событие В уже произошло,т.е. событие В включено в событие А и обозначается: В Ì А.

Пример 2.

Абитуриентов зачисляют в ВУЗ сразу (это событие А) при условии, что они сдали все вступительные экзамены на «отлично» (это событие В).

Если А Ì В и В Ì А, то события А и В называются равносильными, или эквивалентными (записывают А Û В).

Если наступление события А делает невозможным наступление события В (и наоборот), то событие А и В называются несовместными или непересекающимися, в этом случае АÇВ=Æ.

Пример 3.

Двое стреляют по мишени. Попадание в цель сразу двух стрелков – это событие А. Промахнулись оба стрелка – это событие В. События А и В в данном примере несовместны.

События А₁, А₂ ,..., А_k образуют полную группу событий, если:

А₁ È А₂ È ... È А_k = W;

Пример 4.

Студент сдаёт два экзамена. Возможно одно из событий: «сдан первый экзамен и не сдан второй», «не сдан первый экзамен и сдан второй», «сданы два экзамена», «не сданы два экзамена». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Элементарными событиями или исходами называют события, удовлетворяющие трем условиям:

1) они попарно несовместны;

2) образуют полную группу;

3) равновозможны.

Операции над событиями удовлетворяют свойствам, приведённым в таблице 4.1.

Таблица 4.1

	АÈВ = ВÈА;		АÇВ = ВÇА;
	АÈА = А;		АÇА = А;
	АÈW = W;		АÇW = А;
	АÈÆ = А;		АÇÆ = Æ;
	АÈ(ВÈС)=(АÈВ)ÈС;		АÇ(ВÇС)=(АÇС)ÇВ;
	АÈ(ВÇС)=(АÈВ)ÇАÈС);		АÇ(ВÈС)=(АÇВ)È(АÇС);
	Æ=W.		=Æ.

В результате можно устанавить соответствие между понятиями теории множеств и теории вероятностей, которое приводится в таблице 4.2.

Таблица 4.2

№	Теория множеств	Терия вероятностей
	Множество	Случайное событие
	Объединение АÈВ	Сумма А+В
	Пересечение АÇВ	Произведение событий АВ
	Непересекаюшиеся множества	Несовместные события
	Разбиение	Полный набор событий
	Дополнение	Противоположное событие
	Универсальное множество	Достоверное событие
	Пустое множество	Невозможное событие