Сложение вероятностей несовместных событий

Суммой двух событий А + В называется событие, состоящее в появлении события А или В или обоих этих событий.

Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

  Р(А+В)=Р (А)+Р (В). (4.2)

Данную строку можно прочитать следующим образом: вероятность появления события А или В, или обоих этих событий равна сумме вероятностей этих событий. Запись Р(А)+Р(В) можно представить в виде: Р(А)ÈР(В).

Для нескольких несовместных событий формула (4.2) имеет вид:

  Р(А1 + А2+ … + Аk) = Р(А1) + (А2) +…+ Р(Аk). (4.2а)

Теорема 2.Сумма вероятностей всех событий, образующих полную группу, равна единице.

  Р(А1) + (А2) +…+ Р(Аk) = 1. (4.3)

Пример 7.

Студент после занятий может пойти: домой с вероятностью р1=0,4, в библиотеку с вероятностью р2=0,1, в спортзал с вероятностью р3=0,2 и в кино с вероятностью р4=?. Определить р4.

Решение.

Эти четыре события несовместны и образуют полную группу. Сумма вероятностей событий p1, p2, p3 равна:

р1+р2+ р3=0,4 +0,1+0,2=0,7.

По формуле (4.3) получим p4=1-0,7=0,3.

Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

  . (4.4)

Если вероятность события Р (А) обозачить через p, а события Р(`А) через q, то формулу (4.4) можно записать в виде:

  p + q = 1. (4.5)

Пример 8.

Студент может сдать экзамен с вероятностью р=0,9. Какова вероятность, что студент не сдаст экзамен?

Решение.

Эти два события противоположны и образуют полную группу.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий из (4.5) равна: q = 1–р = 0,1.