Теорема 7. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
| Р (А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А × В). | (4.10) |
События в формуле (4.10) могут быть как зависимыми, так и независимыми.
Для независимых событий:
| Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) × Р(В). | (4.11) |
Для зависимых событий:
| Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) × РА(В). | (4.12) |
Пример 14.
Абитуриент подал заявления в два разных вуза по результатам ЕГЭ (на бюджетной основе). Обозначим вероятность попасть в первый вуз р1=0,5, во второй р2=0,3. Какова вероятность быть зачисленным абитуриенту хотя бы в один из вузов?
Решение.
Эти события совместные. Каждое событие независимое. Для независимых событий выбираем формулу (4.11).
Р(А+В) = Р(А)+Р(В)–Р(А)×Р(В) = р1+р2–р1×р2 = 0,5+0,3 – 0,5∙0,3=0,65.
Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. В случае трех совместных событий она имеет вид:
Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В) + Р(С) – Р(А×В) – Р(А×С) – Р(В×С) + Р(А×В×С).
В частном случае для несовместных событий А и В (т.е. когда А×В = Æ и Р(А× В) = Р(Æ) = 0), формула (4.10) имеет вид: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).