1) Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины Х это сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:
М (Х) = x1· p1 + x2· p2 + … + xn· pn. | (5.4) |
Cвойства математического ожидания:
M(X+Y+...+W)=M(X)+M(Y)+...+M(W).
2) Дисперсия D(X) дискретной случайной величины Х – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:
D(X) = M [X – M(X)]2. | (5.5) |
Формула (5.5) после возведения в степень и преобразований имеет вид:
D(X) = M (X2) – [M(X)]2. | (5.6) |
Свойства дисперсии:
3) Среднее квадратическое отклонение s(Х) дискретной случайной величины Х определяется формулой (5.2). Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.
Случайная величина называется центрированной, если математическое ожидание M(X)=0, и стандартизированной, если M(X)=0 и среднее квадратическое отклонение s=1.
Рассмотрим на примере вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин.
Пример 3.
Найти математическое ожидание М (Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение s(Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения в таблице 5.4.
Таблица 5.4
Х | -5 | |||
р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Решение.
Математическое ожидание Х вычисляется по формуле (5.4):
M(X)=-5×0,4+2×0,3+3×0,1+4×0,2=-0,3.
Дисперсия вычисляется по формуле (5.6): D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2.
Закон распределения квадрата Х2 случайной величины задан в таблице 5.5.
Таблица 5.5
Х2 | ||||
p | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Математическое ожидание Х2:
М(Х2) = 25×0,4 + 4×0,3 + 9× 0,1 + 16×0,2 = 15,3.
Искомая дисперсия:
D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2 = 15,3 – (– 0,3)2 = 15,21.
Тогда среднее квадратическое отклонение будет: