Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Если рассматривать случайную величину Х, значения которой заполняют интервал [a,b] и составить перечень всех возможных её значений невозможно, то она называется непрерывной. В результате этого появилась необходимость дать общий способ задания любых типов случайных величин. Для этого вводится функция распределения вероятностей случайной величины (5.1). Функция распределения F(х) для непрерывной случайной величины имеет вид:

,

(5.7)

где: f(х) – функция плотности вероятности вычисляется по формуле:

.

(5.8)

Функцию распределения F(х) называют интегральным законом распределения, плотность вероятности f(х) называют дифференциальным законом распределения.

Cвойства функции распределения F(х):

Свойство 1. Значения функции распределения F(х) принадлежат отрезку [0, 1]: 0 £ F(х) £ 1.

Свойство 2. F(х) – неубывающая функция:

F (х₂) ³ F(х₁), если х₂ > х₁.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a £X < b)=F(b)-F(a).

Свойство 3.Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b], то: F(x)=0 при x £ a; F(x) = 1 при x ³ b.

Следствие 2. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то:

; .

Cвойства плотности вероятности f(х):

Свойство 1. Плотность вероятности не может быть отрицательной. f(х) ³ 0.

Свойство 2.

.

(5.9)

Следствие. В частности, если значения случайной величины находятся в интервале [a, b], то вероятность попадания в заданный интервал

.

(5.9а)

Функция распределения связана с плотностью формулой:

.

(5.10)