Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Если случайная величина Х задана плотностью распределения f(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу, вычисляется по формуле (5.9а). Подставив в формулу (5.9а) значение плотности распределения из (5.16) для нормального распределения N(a, s) и сделав ряд преобразований, вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу [x₁, x₂], будет равна:

,

(5.18)

где а – математическое ожидание.

Пример 7. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание a=60, среднеквадратическое отклонение s=20. Найти вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (30;90).

Решение. Искомая вероятность вычисляется по формуле (5.18).

Получим: P(30 < X < 90) = Ф((90 – 60) / 20) –Ф((30 – 60)/20) = 2Ф(1,5).

По таблице Приложения 1: Ф(1,5) = 0,4332.

P(30 < X < 90)=2 Ф(1,5) = 2×0,4332 = 0,8664.

Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (30; 90) равна: P(30<X<90) =2 Ф(1,5) =2×0,4332= 0,8664.