Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины
Задачи вычисления вероятности отклонения нормальной случайной величины от заданного значения связаны с различного рода ошибками (измерения, взвешивания). Ошибки разного рода обозначаются переменной e.
Пусть e – отклонение нормально распределённой случайной величины Х по модулю. Требуется найти вероятность того, что отклонение случайной величины Х от математического ожидания не превысит заданного значения e. Данная вероятность записывается в виде: P(|X-a|) ≤ e.
Предполагается, что в формуле (5.18) отрезок [х1; х2] симметричен относительно математического ожидания –а. Таким образом: a–х1=e; х2 –a =e. Отсюда можно выразить границы отрезка [х1; х2] , которые будут иметь вид:
| х1=а –e; х2=а + e. | (5.19) |
В правую часть (5.18) подставляются значения х1, х2 из (5.19). Далее выражение в фигурных скобках левой части формулы (5.18) переписывается в виде двух неравенств:
1) х1 ≤ X и заменяется в нём х1 согласно (5.19), получится:
а–e ≤ X или а–X ≤ e.
2) X ≤ х2, аналогично заменяется х2 из (5.19), получится:
X ≤ а+e или X–a ≤ e.
В результате этих замен формулу (5.18) можно переписать в виде:
| P (|X–a| ≤ e) = 2Ф(e/s) = 2Ф(t), | (5.20) |
где 
Через функцию Лапласа выражается и функция нормального распределения в общем случае N(a, s):
 .
| (5.21) |
Далее рассматриваются несколько примеров вычисления вероятности отклонения нормально распределённой случайной величины от своего математического ожидания.
Пример 8.
Производится измерение диаметра детали. Случайные ошибки измерения принимаются за случайную величину Х и подчинены нормальному закону с математическим ожиданием а=0, со средним квадратическоим отклонение s=1мм. Найти вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 2мм.
Решение.
Дано: e=2, s=1мм, а=0.
По формуле (5.20): P (|X–0| ≤ 2) = 2Ф(e/s) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0).
По таблице Приложения 1 можно найти: Ф (2,0)=0,4772.
Вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 1 мм равна:
P (|X| ≤ e) = 2×0,4772 = 0,9544.
Пример 9.
Случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: а=50 и s=15.
Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания – а будет меньше 5.
Решение.
По формуле (5.20) вычисляем вероятность отклонения случайной величины:
P(|X– 50| < 5) = 2Ф(5/15) = 2Ф(0,333) = 2×0,1293 = 0,2586.
Вероятность того, что отклонеиие случайной величина от своего математического ожидания будет меньше пяти, равна: P(|X–a|<5)=0,2586.
Пример 10.
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а и s. Найти вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания – а не больше, чем на 3s.
Решение.
По условию задачи e ≤ 3s. С учетом (5.20) будем иметь:
,
где Ф(3) вычисляется по таблице функции Лапласа (Приложение 1):
Ф(3) » 0.49865.
В итоге: P(|X-a| £ 3s) = 2Ф(3) » 0,9973.
5.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Случайная величина»
1. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
| X | -1 | |
| P | 0,3 | 0,7 |
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 1,4; b) 1,7; c) 1,1; d) 1.
2. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
| X | -1 | |
| P | 0,4 | 0,6 |
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 1; b) 1,4; c) 2,8; d) 2.
3. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
| X | -5 | |
| P | 0,5 | 0,5 |
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 0,5; b) 0,5; c) 5,5; d) 2,75.
4. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
| X | -3 | |
| P | 0,2 | 0,8 |
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 2,2; b) 1,0; c) 1,1; d) 2,0.
5. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
| X | -2 | |
| P | 0,3 | 0,7 |
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 2,7; b) 1,35; c) 0,01; d) 1,5.
6. Формула
вычисления:
a) Математического ожидания; b)Дисперсии; c)Функции распределения; d) Плотности вероятности.
7. Формула
вычисления:
a) Функции распределения;
b) Дисперсии;
c) Плотности вероятности;
d) Математического ожидания.
8. Формула
вычисления:
a) Математического ожидания;
b) Дисперсии;
c) Плотности вероятности;
d) Функции распределения.