Эмпирическая функция распределения

Понятие функции распределения было дано в разделе теории вероятности для случайной величины. Для выборки вводится понятие эмпирической функции распределения. Эмпирическая функция распределения (функция распределения выборки) это функция F^*(x), которая определяет для каждого значения x_i относительную частоту события X<x. Эмпирическая функция распределения имеет вид:

(6.1)

где: n_x – число вариант меньших х, n – объём выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения для выборки, вводится понятие теоретической функции распределения для генеральной совокупности – F(x). Теоретическая функция распределения определяет вероятность события X<x. Эмпирическая функция распределения F^*(x) по вероятности стремится к теоретической функции распределения F(x) при больших количествах испытаний и обладает всеми свойствами F(x):

Значения эмпирической функции принадлежат отрезку F^*(x) Î [0;1].
F^*(x) – неубывающая функция.
Если х₁ – наименьшая варианта, то F^*(x)=0 при x ≤ x₁.
Если х_k– наибольшая варианта, то F^*(x)=1 при x > x_k.

Пример 3.

Учитывая свойства 1, 2, 3, найдём эмпирическую функцию распределения для примера 1.

Решение.

Объём выборки n=15.

Наименьшая варианта х₁=2, тогда: F^*(x)=0 при x ≤ x₁.

При значениях варианты в интервале 2<x≤3: F^*(x)=5/15=0,33.

При значениях варианты в интервале 3<x≤5: F^*(x)=10/15=0,66.

При 5<x≤10: F^*(x)=13/15 = 0,87.

При x>10: F^*(x) =1.

Эмпирическая функция распределения представлена в таблице 6.5.

Таблица 6.5

i
x_i	<2	>2		>3			>5						>10
F^*(x)		0,33	0,33	0,66	0,66	0,66	0,87	0,87	0,87	0,87	0,87	0,87

На рис. 6.3 представлен график эмпирической функции распределения.

Рис. 6.3. Эмпирическая функция распределения