Пусть задана дискретная случайная величина Х в виде генеральной совокупности. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности:
. | (6.2) |
где xi – варианта генеральной совокупности, ni – частота варианты xi,
.
N – все возможные значения частот дискретной случайной величины Х.
В частном случае, когда генеральная совокупность содержит по одному значению каждой варианты, генеральная средняя равна:
. | (6.2а) |
Если рассматривать значения Х генеральной совокупности как случайную величину, то математическое ожидание М(Х) равно генеральной средней М(Х)= xг, а генеральная средняя определяется как математическое ожидание:
xг = М(Х).
Пусть извлечена выборка объема n из генеральной совокупности относительно количественного признака X. Выборочной средней`x называется среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.
, | (6.3) |
где
.
В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты, выборочная средняя равна:
. | (6.3а) |
Аналогично генеральной совокупности можно сделать вывод относительно выборочной средней. Если рассматривать значения Х выборки, как случайную величину, то математическое ожидание m(Х) равно выборочной средней:
. | (6.4) |
Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X от их среднего значения xг. Рассеяние значений количественного признака X в выборке вокруг своего среднего значения`x характеризует выборочная дисперсия. Выборочной дисперсией Dв называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X от их среднего значения .
. | (6.5) |
В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты, выборочная дисперсия равна:
. | (6.5а) |
Пример 4.
Выборочная совокупность задана таблицей распределения в примере 1.
Таблица 6.6
i | ||||
xi | ||||
ni |
Найти выборочное математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение для распределения, заданного таблицей 6.6.
Решение.
Выборочная средняя вычисляется по формуле (6.4):
Выборочная дисперсия Dв вычисляется по формуле (6.5):
Выборочное среднее квадратическое отклонение: .
В задачах выборочная совокупность может быть задана таблицей распределения с относительной частотой. Рассмотрим пример 4, заменив в таблице 6.6 последнюю строку относительной частотой pi=ni/n. В примере n=15. Выборочная дисперсия Dв вычисляется по данным таблицы 6.7.
Таблица 6.7
i | ||||
xi | ||||
pi | P1 =5/15 | P2 =5/15 | P3 =3/15 | P4 =2/15 |
Выборочная дисперсия Dв может быть вычислена как с использованием относительной частоты, так и абсолютной частоты.
Характеристики случайной величины, построенные на основании выборочных данных, называются выборочными или точечными оценками.
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные в примере 4, являются точечными.