Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины

Доверительным называют интервал (q^*–e,q^*+ e), который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью b, где, q^* – статистическая характеристика, найденная по данным выборки, которая служит оценкой неизвестного параметра q. Отклонение неизвестного параметра q от его оценки q^* задаётся величиной положительной e>0,так как их разность задаётся по модулю |q – q^*| < e. Чем меньше отклонение e, тем точнее оценка. Рассмотрим нахождение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины. Из теории вероятностей интервальные вероятности для нормального распределения N(a,s) определяются формулой (5.20):

P (|X– a| ≤ e) = 2Ф(e/s) = 2Ф(t),

(6.9)

где t = e/s.

Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней. Выборочную среднюю можно рассматривать как случайую величину, которая изменяется от выборки к выборке.

Из теории вероятностей дискретной случайной величины известны положения для числовых характеристик среднего арифметического. В частности:

1. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределённых взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин:

.

1. Среднее квадратическое отклонение n одинаково распределённых взаимно независимых случайных величин соответственно равно:

.

Заменив в (6.9) случайую величину Х на выборочную среднюю`x, s на

можно (6.9) переписать в виде:

,

(6.9а)

где:

.

Можно найти отклонение неизвестного параметра от его оценки:

.

(6.10)

Если в (6.9а) рассмотреть неравенство , то из него можно выразить неизвестное математическое ожидание а:

.

(6.11)

Если в (6.11) подставить вместо e значение из (6.10), то получим доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины.

.

(6.12)

Вероятность

определяется законом нормального распределения, если известна дисперсия D=s².

Если дисперсия неизвестна, а лишь подсчитано ее несмещённое значение

,

то вероятность

определяется законом распределения Стьюдента со степенями свободы k = n–1. С увеличением степеней свободы k, то есть с увеличением объема выборки, распределение Стьюдента стремится к нормальному.