В математике часто используется для обозначения какой-либо связи между предметами или понятиями термин «отношение». Примеры отношений: отношение равенства между двумя или несколькими переменными, фигурами. В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними.
Определение 5: Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Утверждение, что множество В является подмножеством множества А, записывают так: ВÌА. Такая запись означает, что каждый элемент множества В является элементом множества А и множество В включено во множество А.
Пример 3. Пусть В {2, 4, 6} – множество чётных чисел, А{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – множество целых чисел. Следовательно, множество В включено во множество А, что записывается так: ВÌА, но множество А не включено во множество В, что записывается так: А Ë В. Например, множества {4, 8} и {6} являются подмножествами множества {2, 4, 6, 8}; а числа 2, 4, 6, 8 – его элементы.
Свойства включения множеств:
Определение 6: Два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого (A = B Û (A Ì B и В Ì А)). Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. При этом порядок перечисления элементов множества значения не имеет. Например. Равны множества {8,2,5}, {2,5,8} и {5,8,2}.
Если множество X равно множеству Y, то можно записать X = Y. В противном случае X ≠ Y. Другой пример. Даны множества: Z ={3,5,7}, Y = {7,5,3,5,7}. Они равны Z=Y, так как они состоят из одних и тех же элементов. Множество Z={3,5,7}, X={{7,5}, {3,5,7}} не равны Z≠X, так как элементами второго множества являются множества. Таким образом, данные множества состоят из элементов различной природы и не могут быть равны.
Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества. У любого множества есть обязательно хотя бы два подмножества: пустое множество и само множество. Эти два подмножества называются несобственными подмножествами. Любое подмножество, отличное от несобственного, называется собственным подмножеством данного множества.
У пустого множества нет собственных подмножеств, а оба несобственных подмножества равны между собой. У любого одноэлементного множества также нет собственных подмножеств, но его несобственные подмножества различны. У любого двухэлементного множества есть уже два собственных подмножества. С ростом количества элементов во множестве количество собственных подмножеств растет. Например, если F={3,5}, то собственными подмножествами множества F будут являться множества {3} и {5}.
Определение 7: Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается через R(A).
Пусть А={5,3,9}. Тогда множество-степень состоит из:
1) А={5,3,9} – исходного множества.
2) пустого множества Æ.
3) трёх одноэлементных подмножеств: {5}; {3}; {9}.
4) трех двухэлементных подмножеств множества А: {{5,3}{3,9}{5,9}}.
Таким образом, множество-степень:
R(A) = {А,{5},{3},{9},{5,3},{3,9},{5,9},{Æ}}; состоит из 23=8 элементов.
Для n-элементного множества множество-степень состоит из 2n элементов.